当标准偏差增大到无穷大时，正态分布会收敛为均匀分布吗？

18

如果标准偏差无边增长，正态分布会收敛到某个分布吗？看来，我是PDF开始看起来像与由给定边界的均匀分布 $[-2 \sigma, 2 \sigma]$ 。这是真的？

normal-distribution convergence

2

不，但是为了正确回答您的问题，我们需要知道您对收敛的定义。请记住，只有在右侧不变的情况下才可能进行正式讨论。所以，你不能建立收敛高校统战[

- σ, σ

$-\sigma,\sigma$ 因为你]

σ

$\sigma$ 正在发生变化。查找CLT的表述，以了解我的意思

— Aksakal

仅当您将其包装或截断为

o (σ)

$o(\sigma)$ 。

— 于

4

这里的其他答案已经很好地解释了为什么高斯RV不会随方差的增加而无收敛于任何事物，但是我想指出一个看似均匀的特性，使得高斯族的集合确实满足了我认为可能足以让人猜到他们正在变得统一，但是事实证明不足以得出结论。 $\newcommand{\len}{\text{len}}$

考虑随机变量的集合，其中。令为有限长度的固定间隔，并且对于某些定义，即是但只是移了。对于间隔将定义为的长度，并注意。 $\{X_1,X_2,\dots\}$ $X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$ $A = [a_1,a_2]$ $c \in \mathbb R$ $B = A +c$ $B$ $A$ $c$ $I = [i_1,i_2]$ $\len (I) = i_2-i_1$ $I$ $\len(A) = \len(B)$

现在，我将证明以下结果：

结果： $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$ as $n \to \infty$ 。

之所以称其为均匀制服，是因为它表示的分布越来越多地具有两个相等长度的固定间隔，并且无论它们相距多远，都具有相等的概率。这绝对是一个非常统一的功能，但是正如我们将看到的那样，它并没有说明实际分布到统一的情况。 $X_n$ $X_n$

Pf：请注意，，其中因此我可以使用的（非常粗糙的）边界来获得 $X_n = n X_1$ $X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$

P (X_{n} \in A) = P (a_{1} \leq n X_{1} \leq a_{2}) = P (\frac{a_{1}}{n} \leq X_{1} \leq \frac{a_{2}}{n})

$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$

= \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{a_{1} / n}^{a_{2} / n} e^{- x^{2} / 2} d x .

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$

e^{- x^{2} / 2} \leq 1

$e^{-x^2/2} \leq 1$

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{a_{1} / n}^{a_{2} / n} e^{- x^{2} / 2} d x \leq \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{a_{1} / n}^{a_{2} / n} 1 d x

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$

= \frac{len (A)}{n \sqrt{2 π}} .

$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$

我可以对执行相同的操作以得到 $B$

P (X_{n} \in B) \leq \frac{len (B)}{n \sqrt{2 π}} .

$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$

将它们放在一起，我有等于（我在这里使用三角形不等式）。

| P (X_{n} \in A) - P (X_{n} \in B) | \leq \frac{\sqrt{2} len (A)}{n \sqrt{π}} \to 0

$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$

n \to \infty

$n\to\infty$

$\square$

这与收敛于均匀分布有何不同？我只是证明了相同有限长度的任意两个固定间隔的概率越来越近，从和的角度来看，从直觉上讲，随着密度“趋于平坦”，这是有道理的。 $X_n$ $A$ $B$

但为了汇聚均匀分布，我需要以头朝着正比于的任何间隔，这是一个非常不同的事情，因为这需要适用于任何，而不仅仅是预先确定的（并且如其他地方所提到的，对于无限制支持的分配，这也是不可能的）。 $X_n$ $P(X_n \in I)$ $\text{len}(I)$ $I$ $I$

— jld
source

是的，您几乎可以说它们在分布上收敛，只是它们收敛到的极限是不正确的分布。一种可以很好定义的收敛类型是，我猜您可以证明Wasserstein度量随着趋近于零？

σ \to \infty

$\sigma \rightarrow \infty$

— Cliff AB

36

概率上的一个常见错误是认为分布是均匀的，因为当所有值都接近零时，它看起来就很平坦。这是因为，我们往往看到和尚未，即一个小的间隔围绕是1000倍的可能比周围的间隔小。 $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$ $f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$ $x$ $y$

这绝对不是在限制整个实线均匀，因为有上没有均匀分布。它也没有连上大致均匀的。 $(-\infty,\infty)$ $[-2\sigma,2\sigma]$

您可以从您似乎熟悉的68-95-99.7规则中看到后者。如果它是大致均匀的上，则在为概率和应该是相同的，因为这两个间隔是相同的长度。但这种情况并非如此：，但 $[-2\sigma,2\sigma]$ $[0,\sigma]$ $[\sigma,2\sigma]$ $P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$ 。 $P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

在整个实线上观察时，此正态分布序列不会收敛到任何概率分布。有几种方法可以看到这一点。作为一个例子，与标准偏差正常的CDF 是 $\sigma$ ，和对所有，这是不的CDF任何随机变量。实际上，它根本不是CDF。 $F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$ $\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$ $x$

这种不收敛的原因归结为“质量损失”。正态分布的极限函数实际上具有“丢失”的可能性（即，它已经逃逸到无穷大）。这与度量紧密度的概念有关，后者为一系列随机变量收敛到另一个随机变量提供了必要条件。

— 亚历克斯·R。
source

1

错误的“是”是“所有值都接近零”。“这是一个常见的错误”中的“是”是正确的。

— 16:09累积

15

您的发言的PDF开始看起来像一个均匀分布与指定的界限 $[−2σ,2σ]$ 如果调整不正确相匹配的更广泛的标准偏差。 $\sigma$

考虑以零为中心的两个法线密度的图表。红色曲线对应于标准偏差和蓝色曲线的标准偏差，并且它确实是这样的，蓝色曲线是几乎平坦 $1$ $10$ $[-2,2]$

$\sigma=10$ $[-20,20]$ $x$ $y$ $10$

— 亨利
source

2

$\sigma = 1$ $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$ $[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$ $\sigma^*$

$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$ $\sigma^* \rightarrow \infty$ $[-2, 2]$

— 最大功率
source