长尾中泊松累积分布的简单近似？

我想决定容量一个表中的，以便它具有的残留可能性小于溢出对于给定的，假设条目的数量服从泊松法与给定的预期。 $C$ $2^{-p}$ $p\in[40\dots 120]$ $E\in[10^3\dots 10^{12}]$

理想情况下，我想最低的整数C，使得1-CDF[PoissonDistribution[E],C] < 2^-p对于给定的p和E; 但我对其中的一些内容感到满意C。数学是人工计算罚款，但是我想计算C的p，并E在编译时，这限制了我的64位整数运算。

更新：在Mathematica（版本7）e = 1000; p = 40; c = Quantile[PoissonDistribution[e], 1 - 2^-p]中1231，似乎是正确的（感谢@Procrastinator）；但是，p = 50和的结果p = 60都是1250，这在不安全的方面是错误的（而且很重要：我的实验重复次，每次次或更多，并且我希望总的失败几率小于）。我想要一些仅使用64位整数算术的粗略但安全的近似值，如在编译时在C（++）中可用。 $2^{25}$ $2^{-30}$

poisson-distribution

— 弗格里厄
source

怎么C = Quantile[PoissonDistribution[E],1-2^p]样

泊松概率质量函数的前项在尾部占主导地位。

— 红衣主教2012年

@Procrastinator：是的，可以在Mathematica中使用（的符号p和精度问题以及名称E和C保留名称除外）。但是我需要一个简单的近似值，可能仅使用64位整数算术运算就很粗略（但从安全角度而言）！

— fgrieu 2012年

重新更新：Mathematica 8对于

返回1262，对于

返回1290 。Re正态近似（@Proc）：不能期望它在尾部工作良好，这对计算至关重要。

p = 50

$p=50$

p = 60

$p=60$

— ub

也许您应该问一下stackoverflow。我不熟悉您的约束。我不知道是什么使您无法使用动态内存分配，或者您是否可以使用分支来确定数组的大小，或者定义两倍于所需大小的数组（然后不使用全部内存）的成本是多少？的）。如果有些函数像

（就像一个例子）给你确切的答案，你就可以实现在你的约束或不是近似？现在好像是编程问题。

μ + \sqrt{\log \log μ} \log μ \sqrt{μ} + p \frac{\sqrt{μ}}{\log μ}

$\mu + \sqrt{\log\log \mu} \log \mu \sqrt \mu + p \frac{\sqrt{\mu}} {\log \mu}$

— Douglas Zare 2012年

Answers:

均值较大的Poisson分布近似于正态分布，但您必须注意要设置尾部约束，并且正态近似在尾部附近成比例地降低精度。

此MO问题中使用的且具有二项式分布的一种方法是认识到，尾部的下降比几何级数更快，因此您可以将明确的上限写为几何级数。

\begin{array}{rcl} \sum_{ķ = d}^{\infty} 经验值 （ - μ ） \frac{μ^{ķ}}{ķ ！} & < & \sum_{ķ = d}^{\infty} 经验值 （ - μ ） \frac{μ^{d}}{d ！} （ \frac{μ}{d + 1个} ）^{ķ - d} \\ = & 经验值 （ - μ ） \frac{μ^{d}}{d ！} \frac{1个}{1个 - \frac{μ}{d + 1个}} \\ < & 经验值 （ - μ ） \frac{μ^{d}}{\sqrt{2 π d} （ d / Ë ）^{d}} \frac{1个}{1个 - \frac{μ}{d + 1个}} \\ = & 经验值 （ d - μ ） （ \frac{μ}{d} ）^{d} \frac{d + 1个}{\sqrt{2 π d} （ d + 1个 - μ ）} \end{array}

$\begin{eqnarray}\sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu)\frac{\mu^k}{k!} & \lt & \sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{D!}\bigg(\frac \mu{D+1}\bigg)^{k-D} \\ & = & \exp(-\mu)\frac{\mu^D}{D!}\frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & \lt & \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{\sqrt{2\pi D}(D/e)^D} \frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & = & \exp(D-\mu) \bigg(\frac{\mu}{D}\bigg)^D \frac{D+1}{\sqrt{2\pi D} (D+1-\mu)}\end{eqnarray}$

第2 行第3行与斯特林公式有关。在实践中，我认为您然后想使用二进制搜索以数字方式求解。牛顿法开始的初始猜测 $\to$ $-p \log 2 = \log(\text{bound})$ 应该也可以。 $D = \mu + c \sqrt \mu.$

例如，对于和，我得到的数值解是1384.89。均值的泊松分布采用从值通过以概率值至的概率发生 $p=100$ $\mu = 1000$ $1000$ $0$ $1384$ $1-1/2^{100.06}.$ $0$ $1383$ $1-1/2^{99.59}.$

— 道格拉斯·扎尔
source

+1。另一种方法是将泊松尾部概率（在右侧）与Gamma分布的尾部概率（在左侧）相关联，可以通过鞍点近似法来（过度）估计该概率。

— ub

从那到限制到64位整数算术（没有exp，log，sqrt ..）还有很长的路要走，但我会继续努力；谢谢大家！

— fgrieu 2012年

（+1）直到斯特林近似的调用（无关紧要），这正是我（不透明地）在对OP的评论中所引用的界限。（例如，请参阅此处。）

— 主教

您可能会看到哈雷默斯（P.Harremoës）：泊松随机变量的尾部概率的明显界限https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/229679/witmse_proc_17.pdf 主要不等式如下。令 $Y$ 为参数 $\lambda$ 的泊松随机变量。把

G （ X ） = \sqrt{2 （ X \ln \frac{X}{λ} + λ - X ）} s 一世 G ñ （ X - λ ） 。

$G(x)= \sqrt{2\left(x\ln \frac{x}{\lambda} +\lambda-x\right)} \ \ {\rm sign} \left(x-\lambda\right).$

Φ

$\Phi$

k \geq 0

$k\ge 0$

P （ ÿ < ķ ） \leq Φ （ G （ ķ ） ） \leq P （ ÿ \leq ķ ） ，

${\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k)) \le {\bf P}(Y\le k),$

Φ （ G （ ķ - 1个 ） ） \leq P （ ÿ < ķ ） \leq Φ （ G （ ķ ） ）

$\Phi(G(k-1)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

Φ (G (k + (1 / 2))) \leq P (Y \leq k)

$\Phi(G(k+(1/2))) \le {\bf P}(Y\le k)$

Φ （ G （ ķ - 1个 / 2 ） ） \leq P （ ÿ < ķ ） \leq Φ （ G （ ķ ） ）

$\Phi(G(k-1/2)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

— 帕维尔·鲁赞金（Pavel Ruzankin）
source

如果您可以写出关键方程式（假设只有一个或两个），则可以在某些时候链路失效的情况下提供帮助。

— jbowman