约翰·图基（John Tukey）提倡他的“ 三点法 ”来寻找变量的重新表达以使关系线性化。
我将用他的书《探索性数据分析》中的一个练习来说明。这些是来自实验的汞蒸气压数据，在该实验中温度发生了变化并测量了蒸气压。
pressure <- c(0.0004, 0.0013, 0.006, 0.03, 0.09, 0.28, 0.8, 1.85, 4.4,
9.2, 18.3, 33.7, 59, 98, 156, 246, 371, 548, 790) # mm Hg
temperature <- seq(0, 360, 20) # Degrees C
该关系是高度非线性的：请参见图中的左面板。
因为这是一个探索性练习，所以我们希望它是交互式的。要求分析人员首先确定图中的三个“典型”点：每个端点附近一个，中间一个。我在这里这样做，并用红色标记。（很久以前，当我第一次进行此练习时，我使用了不同的点集，但得出的结果是相同的。）
在三点法中，一种方法（通过蛮力或其他方式）搜索Box-Cox变换，该变换应用于（y）或x坐标之一时（a）将典型点近似放置在线和（b）使用“不错”的权力，通常选自分析师可能可以解释的“阶梯”权力。
由于稍后将变得显而易见的原因，我通过允许“偏移”扩展了Box-Cox系列，以使转换形式为
x→(x+α)λ−1λ.
R(λ,α)λα
box.cox <- function(x, parms=c(1,0)) {
lambda <- parms[1]
offset <- parms[2]
if (lambda==0) log(x+offset) else ((x+offset)^lambda - 1)/lambda
}
threepoint <- function(x, y, ladder=c(1, 1/2, 1/3, 0, -1/2, -1)) {
# x and y are length-three samples from a dataset.
dx <- diff(x)
f <- function(parms) (diff(diff(box.cox(y, parms)) / dx))^2
fit <- nlm(f, c(1,0))
parms <- fit$estimate #$
lambda <- ladder[which.min(abs(parms[1] - ladder))]
if (lambda==0) offset = 0 else {
do <- diff(range(y))
offset <- optimize(function(x) f(c(lambda, x)),
c(max(-min(x), parms[2]-do), parms[2]+do))$minimum
}
c(lambda, offset)
}
当对汞蒸气数据集中的压力（y）值应用三点法时，我们获得了图的中间面板。
data <- cbind(temperature, pressure)
n <- dim(data)[1]
i3 <- c(2, floor((n+1)/2), n-1)
parms <- threepoint(temperature[i3], pressure[i3])
y <- box.cox(pressure, parms)
parms(0,0)
我们已经达到了与问题的上下文类似的观点：无论出于何种原因（通常是为了稳定残差），我们都重新表达了因变量，但是我们发现与自变量的关系是非线性的。因此，现在我们要重新表达自变量，以使关系线性化。这是通过相同的方式完成的，只是颠倒了x和y的作用：
parms <- threepoint(y[i3], temperature[i3])
x <- box.cox(temperature, parms)
parms(−1,253.75)−254−11
2732542732541/(1−x)
−2540
R，考虑了一会儿，我不确定到底该怎么做。您将优化哪些标准以确保“最线性”的转换？极具诱惑力，但是，正如我在此处的答案所示，R 2不能单独用来查看模型的线性假设是否得到满足。您有没有想到一些标准？