将相似度矩阵转换为（欧式）距离矩阵

在随机森林算法中，Breiman（作者）构造相似矩阵如下：

1. 将所有学习示例发送到森林中的每棵树上

2. 如果两个示例落在同一片叶子上，则相似矩阵中的对应元素增加1

3. 用树数归一化矩阵

他说：

情况n和k之间的接近度形成矩阵{prox（n，k）}。从它们的定义可以很容易地看出，该矩阵是对称的，正定的并且在1上有界，对角线元素等于1。由此得出，值1-prox（n，k）是欧几里得中的平方距离维数空间不大于案例数。资源

在他的实现中，他使用sqrt（1-prox）（其中prox是相似矩阵）将其转换为距离矩阵。我想这与上面引用的“欧氏空间中的平方距离”有关。

有人可以解释为什么为什么在欧几里得空间中1-prox是平方距离，以及为什么他使用平方根来获得距离矩阵吗？

根据余弦定理，在欧几里得空间中，两个点（向量）1和2之间的（欧几里得）平方距离为。平方长度和分别是点1和2的平方坐标的总和（它们是勾股斜边）。数量被称为向量1和2的标量积（=点积，=内积）。$d_{12}^2 = h_1^2+h_2^2-2h_1h_2\cos\phi$$h_1^2$$h_2^2$$h_1h_2\cos\phi$

标量乘积也称为1和2之间的角度类型相似度，在欧几里得空间中，它是几何上最有效的相似性度量，因为它很容易转换为欧几里德距离，反之亦然（请参见此处）。

协方差系数和Pearson相关性是标量积。如果将多变量数据居中（以便原点位于点云的中心），则的归一化是向量的方差（而不是上图中的变量X和Y），而居中数据的是Pearson ; 因此，标量积是协方差。[旁注。如果您现在正在考虑变量之间的协方差/相关性，而不是数据点之间的协方差/相关性，那么您可能会问，是否有可能像上面的图片一样将变量绘制为矢量。是的，可能，它称为“ 主题空间$h^2$$\cos\phi$$r$$\sigma_1\sigma_2r_{12}$表示。余弦定理仍然成立，与在这种情况下被视为“矢量”的情况无关-数据点或数据特征。

每当我们有一个对角线上带有1的相似矩阵 -也就是说，所有都设置为1，并且我们相信/期望相似度是欧氏标量积时，如果我们将其转换为平方的欧氏距离需要它（例如，进行此类聚类或MDS时需要距离，最好是欧几里得距离）。因为，根据上述余弦定理公式，是平方欧几里德。如果您的分析不需要因子，您当然可以将其除去，然后按公式$h$$s$$d^2=2(1-s)$$d$$2$$d^2=1-s$。作为经常遇到的示例，这些公式用于将Pearson转换为欧几里得距离。（另见本和整个主题有一些公式转换questionning到的距离。）$r$$r$

就在上面我说过，如果“我们相信/期望……”。您可以检查并确保相似度矩阵（即手头一个特殊矩阵）在几何上没有“特征值”的情况下为 “ OK”标量积矩阵。但是，如果它在这些操作中，然后手段是不正确的标产品，因为有某种程度的几何不收敛无论是在的或的是‘隐藏’的矩阵后面。存在尝试在将其转换为欧几里德距离之前尝试“固化”该矩阵的方法。$s$$s$$h$$d$