方差和标准偏差的最佳解决方案是什么问题或博弈？

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对于给定的随机变量（或总体或随机过程），数学期望是一个问题的答案。。同样，它也是游戏的最佳解决方案，猜猜下一个随机变量的实现（或从总体中吸取新抽奖），如果您对线性不实用，我将用值与猜测之间的平方距离来惩罚您的惩罚。中位数是绝对损失下相应问题的答案，模式是“全有或全无”损失下的答案。

问题：方差和标准偏差是否回答任何类似的问题？这些是什么？

这个问题的动机来自于教授集中趋势和传播的基本方法。尽管集中趋势的度量可以由上述决策理论问题引起，但我想知道人们如何能够激发传播的度量。

variance standard-deviation decision-theory variability

— 理查德·哈迪
source

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非常有趣的问题。我最初的方法是，“游戏”在质量上与您已经描述的相同，除了问题期望（没有双关语），答案是关于一系列值而不是一个点，因为传播没有点。参考是不完整的（如果不是毫无意义的）信息。

— 埃米尔（Emil）

请注意，方差本身就是一个期望-如果

则

。

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b-恢复莫妮卡

@Glen_b，您是对的，我明白了（我应该在问题文本中包括它）。“猜猜下一个值和期望之间的差异，我将二次惩罚您”将成为游戏。那是最好的吗？听起来不太实用或游戏很有趣，恕我直言。

— 理查德·哈迪

Answers:

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如果我已经理解为意的问题，你记有一个设置在其中可以获取任何随机变量的独立的实现 $X$ 与任何分配 $F$ （具有有限方差 $\sigma^2(F)$ ）。“游戏”由将要描述的函数 $h$ 和 $\mathcal L$ 确定。它由以下步骤和规则组成：

你的对手（“自然”）显示 $F.$
作为响应，您产生一个数字 $t(F),$ 您的“预测”。

为了评估游戏的结果，执行以下计算：

从提取 $n$ id观测值 $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的样本 $F.$
预定函数 $h$ 应用于样本，产生数字 $h(\mathbf{X}),$ 即“统计量”。
的“损耗函数” $\mathcal{L}$ 你的“预测”比较 $t(F)$ 到统计 $h(\mathbf{X}),$ 产生非负数 $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
游戏的结果是预期损失（或“风险”）
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

您的目标是通过指定一些使风险最小化的 $t$ 来响应自然的举动。

$h(X_1)=X_1$ $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ $\lambda,$ $t(F)$ $F.$

我们面前的问题是，

$\mathcal{L}$ $h$ $t(F)$ $\sigma^2(F)$

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

$h$ $\mathcal L$

$\sigma(F)$ $F$ $(p)$ $p,$ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ $p\in (0,1).$ $1/p$ $h$ $X_i.$

— ub
source

h

$h$

n

$n$

2

2

$2$

n

$n$

1

非常感谢你！

— 理查德·哈迪

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