如何从超椭圆体（恒定的马氏距离）的表面均匀采样？

在实值多元情况下，是否有一种方法可以从表面上的点开始均匀采样，这些点的马氏距离与均值的距离是恒定的？

编辑：这只是归纳为满足方程的超椭圆体表面的均匀采样点，

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = d^{2} .

$(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) = d^2.$

更准确地说，“均匀”是指样本，以使超曲面的每个面积元素 $dA$ 包含相同的概率质量。

random-generation uniform

— 萨钦·凡内卡
source

如果我错了，请纠正我：您是否在问“给定随机变量

，我如何从距

的给定马氏距离

的点上进行统一采样？”

X

$X$

c

$c$

E [X]

$\mathbb{E}[X]$

— Kevin Li

我认为我们需要对“统一”进行适当的定义。原因是这样的：在二维中，这组点沿某些椭圆放置。是否应该以相等的长度具有相等的机会，或相等的角度具有相等的机会，或者使变量标准化时的相等长度的具有相同的机会，以某种方式从该椭圆采样？如果您可以解释该抽样旨在实现的目标，则可以为我们提供足够的信息，以了解您要提出的问题。

— ub

我了解从球体表面进行均匀采样，然后将其映射到椭球体不会在椭球体上给出均匀的采样。因此，我需要一种从椭圆形表面均匀采样的方法。

— sachin vernekar

在超曲面的每个面积元素dA包含相同的概率质量的意义上，是否要使样品均匀地分布在椭球面上？

— Sextus Empiricus

您为何，如何以及在哪里应用此统一样本？此类信息可能有助于制定最佳/足够的策略。例如，当不同的椭球轴相差不大时，可以使用拒绝采样，方法是：（1）在球体上采样，（2）将其压缩为椭球，（3）计算表面积的压缩率（4）根据该比率的倒数拒绝样本。

— Sextus Empiricus

当不同的椭球轴相差不大时，则可以使用拒绝采样（相差很大，您会拒绝很多，因此不太可行）

（1）超球面上的样本
（2）将其压缩为超椭圆体
（3）计算表面积的压缩率
（4）按该比率拒绝样品。

2D范例

set.seed(1)
#some matrix to transform n-sphere (in this case 2x2)
m <- matrix(c(1, 0.55, 0.55, 0.55), 2)

# sample multinomial with identity covariance matrix
x <- cbind(rnorm(3000, 0, 1), rnorm(3000, 0, 1))
l1 <- sqrt(x[,1]^2 + x[,2]^2)

# perpendicular vector
per <- cbind(x[,2], -x[,1])

# transform x
x <- x %*% m
# transform perpendicular vector (to see how the area transforms)
per2 <- per %*% m

# get onto unit-"sphere"/ellipsoid
x <- x/l1

# this is how the area contracted
contract <- sqrt(per2[,1]^2 + per2[,2]^2) / sqrt(per[,1]^2 + per[,2]^2)

# then this is how we should choose to reject samples 
p <- contract/max(contract)

# rejecting
choose <- which( rbinom(n=length(p), size=1, p=p) == 1)

#plotting
plot(x[1:length(choose), 1], x[1:length(choose), 2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n ")

#plotting
plot(x[choose,1], x[choose,2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n  with rejection sampling")

— 天性
source