Gamma分布的对数的期望值是多少？

如果的期望值为，则的期望值为多少？？可以解析计算吗？ $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

我使用的参数设置是形状速率。

expected-value gamma-distribution

如果，则根据mathStatica / Mathematica， + PolyGamma [a]，其中PolyGamma表示digamma函数

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— Wolfies

我应该补充一点，您没有提供Gamma变量的pdf形式，并且由于您报告的平均值是（而对我来说，它是，看来您使用的是与我不同的符号，其中您的

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— Wolfies'Oct

是的，抱歉。我使用的参数设置是形状速率。我将尝试为该参数化找到它。您能否建议对Mathematica / WolframAlpha的查询？

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Stefano Vespucci

另见Johnson，Lotz和Balakrishna（1994）连续单变量分布第1卷第2版。337-349页。

— 比约恩

另请参阅维基百科：伽玛分布＃对数期望和方差

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica），

Answers:

这一操作（可能令人惊讶）可以通过简单的基本操作来完成（采用理查德·费曼（Richard Feynman）最喜欢的对参数进行积分符号区分的技巧）。

我们假设具有分布，我们希望找到的期望首先，由于是比例参数，因此其作用是将对数移动（如果将用作速率参数，如问题中所示，它将使对数移动）这使我们可以处理的情况 $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

简化之后，的概率元素为 $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

其中是归一化常数 $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

代这需要给出的概率元件， $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

现在，的可能值覆盖所有实数 $Y$ $\mathbb{R}.$

因为必须整合为统一，所以我们（简单地）获得 $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

注意是的可微函数简单的计算即可 $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

下一步利用通过将此身份的两边除以获得的关系从而暴露出我们需要集成以找到期望的对象。即 $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

伽马函数的对数导数（又名“ 多伽马 ”）。使用恒等式计算积分 $(1).$

重新引入因子显示总体结果是 $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

用于比例参数化（其中密度函数取决于）或 $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

进行速率参数化（密度函数取决于）。 $x\beta$

— ub
source

使用polygamma函数，您是说trigamma是哪个顺序（例如0,1）是digamma（如@wolfies指出的）？

— Stefano Vespucci

如前所述，@ Stefano是指伽玛的对数导数。这意味着

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— ub

@whuber的答案非常好；我实质上将以更笼统的形式重申他的回答，这种联系可以更好地与统计理论联系起来（在我看来），这清楚地表明了整个技术的力量。

考虑一个组成指数族的分布族，这意味着它们允许密度关于某些常见的支配度量（通常是Lebesgue或计数度量）。相对于区分两边，我们得出得分方程 其中是得分函数 $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ 并且我们定义了。对于指数族，我们有其中；这有时被称为累积量函数，因为它显然与累积量生成函数密切相关。现在从得出。

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$

(†)

$(\dagger)$

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

现在我们显示这可以帮助我们计算需求期望。我们可以将固定的伽马密度写为指数族这是一个指数家族在单独与和。现在通过计算得出 $\beta$

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— 家伙
source

+1感谢您指出这一很好的概括。

— ub