在GWAS数据集的PCA投影中，孩子如何设法将父母团结在一起？

取20个随机点与每个一万维空间从坐标IID $\mathcal N(0,1)$。将它们分成10对（“对”），并将每对的平均值（“子”）添加到数据集中。然后对所得的30点进行PCA并绘制PC1与PC2的关系图。

发生了一件了不起的事情：每个“家庭”形成一个紧密相连的三元组。当然，在最初的10,000维空间中，每个孩子都更接近其父母中的每个，因此可以期望在PCA空间中每个孩子也都离父母更近。但是，在PCA空间中，每对父母也彼此靠近，即使在原始空间中，它们只是随机点！

在PCA预测中，孩子如何设法将父母团结在一起？

$\quad\quad\quad\quad$

人们可能会担心，这在某种程度上受到以下事实的影响：孩子的规范低于父母。这似乎无关紧要：如果我将子代生成为$(x+y)/\sqrt{2}$，其中$x$和$y$是父母点，那么它们平均具有与父母相同的范数。但是我仍然在PCA领域从质上观察到相同的现象：

$\quad\quad\quad\quad$

这个问题使用的是玩具数据集，但其动机是我在一个全基因组关联研究（GWAS）的真实数据集中所观察到的，其中维度是单核苷酸多态性（SNP）。该数据集包含母婴三重奏。

码

%matplotlib notebook

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(1)

def generate_families(n = 10, p = 10000, divide_by = 2):
    X1 = np.random.randn(n,p)    # mothers
    X2 = np.random.randn(n,p)    # fathers
    X3 = (X1+X2)/divide_by       # children
    X = []
    for i in range(X1.shape[0]):
        X.extend((X1[i], X2[i], X3[i]))
    X = np.array(X)

    X = X - np.mean(X, axis=0)
    U,s,V = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)
    X = U @ np.diag(s)
    return X

n = 10
plt.figure(figsize=(4,4))
X = generate_families(n, divide_by = 2)
for i in range(n):
    plt.scatter(X[i*3:(i+1)*3,0], X[i*3:(i+1)*3,1])
plt.tight_layout()
plt.savefig('families1.png')

plt.figure(figsize=(4,4))
X = generate_families(n, divide_by = np.sqrt(2))
for i in range(n):
    plt.scatter(X[i*3:(i+1)*3,0], X[i*3:(i+1)*3,1])
plt.tight_layout()
plt.savefig('families2.png')

在上面评论中与@ttnphns进行的讨论中，我意识到在少于10个家庭的情况下也可以观察到相同的现象。三个族（n=3在我的代码段中）大致出现在等边三角形的角上。实际上，仅考虑两个家族（n=2）就足够了：它们最终沿PC1分开，每个家族大致投影到一个点上。

两个家庭的情况可以直接可视化。10,000维空间中的原始四个点几乎正交，并位于4维子空间中。因此，它们形成了4个单纯形。居中后，它们将形成3D形状的规则四面体。看起来是这样的：

在添加子代之前，PC1可以指向任何位置；没有首选的方向。但是，在将两个子对象放置在两个相对边缘的中心之后，PC1将直接通过它们！@ttnphns将这种六点排列描述为“哑铃”：

像哑铃一样的云将倾向于拉动主要PC，从而刺穿较重的区域

注意，正四面体的相对边缘彼此正交，并且也正交于连接其中心的线。这意味着每个家庭将在PC1上投影到一个点。

如果用缩放两个孩子，则可能甚至不那么直观$\sqrt{2}$