考试成绩真的遵循正态分布吗？

我一直在尝试了解要在GLM中使用哪些发行版，而在何时使用正态发行版时我有些糊涂。在我的教科书的一部分中，它说正态分布可能对建模考试成绩很有利。在下一部分中，它询问对汽车保险索赔进行建模的哪种分布是合适的。这次，它说适当的分布将是Gamma或反高斯分布，因为它们仅以正值连续。好吧，我相信考试成绩也只会是正数，而是连续的，那为什么我们要在那使用正态分布呢？正态分布是否允许负值？

例如，高度通常被建模为正常。也许男人的身高大约是5英尺10，标准偏差为2英寸。我们知道负高度是不自然的，但是在此模型下，观测到负高度的可能性基本上为零。无论如何我们都使用该模型，因为它足够好近似。

所有型号都不对。问题是“该模型是否仍然有用”，并且在我们对诸如身高和测试分数之类的事物进行建模的情况下，将现象建模为正常是有用的，尽管它在技术上允许不自然的事物。

正态分布是否允许负值？

正确。它也没有上限。

在我的教科书的一部分中，它说正态分布可能对建模考试成绩很有利。

尽管有前面的说明，但是有时还是这样。如果您要测试的组件很多，关联性不是太强（例如，您本质上不是同一问题数十次，每个部分也不要求对上一部分有正确的答案），并且不是很容易或很难（因此大多数标记都在中间附近的某处），那么标记通常可以通过正态分布合理地很好地近似；通常情况下，通常的分析应该引起很少的关注。

我们可以肯定地知道它们不是正常的，但这并不是自动出现的问题-只要我们使用的过程的行为足够接近我们应达到的目的（例如标准误差，置信区间，显着性水平）和电源-无论需要什么-都接近我们期望的水平）

在下一部分中，它询问对汽车保险索赔进行建模的哪种分布是合适的。这次，它说适当的分布将是Gamma或反高斯分布，因为它们仅以正值连续。

是的，但不仅如此-它们趋向于严重右偏，并且当均值变大时，变异性趋于增加。

这是车辆索赔的索赔额分布示例：

https://ars.els-cdn.com/content/image/1-s2.0-S0167668715303358-gr5.jpg

（图5来自Garrido，Genest＆Schulz（2016）“关于保险索赔的相关频率和严重性的通用线性模型”，《保险：数学与经济学》，第70卷，9月，第205-215页。https ：//www.sciencedirect。 com / science / article / pii / S0167668715303358）

这显示了典型的右偏斜和沉重的右尾巴。但是，我们必须非常小心，因为这是边际分布，并且我们正在为条件分布编写模型，该模型通常不会出现较大的偏斜（如果仅对索赔大小进行混合的直方图，我们将查看边际分布这些条件分布）。不过，通常情况是，如果我们按预测变量的子组（可能是对连续变量进行分类）查看索赔额，则该分布仍然偏右偏，右尾偏重，这表明像是伽马模型*比高斯模型更合适。

*可能有许多其他分布比高斯分布更合适-逆高斯分布是另一种选择-尽管不那么常见；对数正态模型或Weibull模型虽然不是目前的GLM，但也可能非常有用。

[几乎没有任何一种分布接近完美的描述；它们是不精确的近似值，但在许多情况下都足够好，以至于该分析有用并且具有接近所需的特性。]

好吧，我相信考试成绩也只会是正数，而是连续的，那为什么我们要在那使用正态分布呢？

因为（在我之前提到的条件下-很多组件，不太依赖，不难或不容易），所以分配趋向于非常接近对称，单峰且不重尾。

通过二项分布可以更好地模拟考试分数。在高度简化的情况下，您可能有100个对/错问题，每个问题都得1分，所以分数将是0到100之间的整数。 ），分数是独立随机变量的总和，并且适用中心极限定理。随着问题数量的增加，正确问题的比例收敛到正态分布。

您会问一个很好的问题，关于小于0的值。您也可能会问同样的问题，关于大于100％的值。随着测试问题数量的增加，总和的方差减小，因此峰值趋向于平均值。类似地，最佳拟合正态分布将具有较小的方差，并且[0，1]区间之外的pdf权重趋于0，尽管它始终为非零。可能的“分数校正”值之间的间隔也将减小（100个问题为1 / 100，1000个问题为1/1000等），因此非正式地，pdf的行为开始越来越像连续的pdf。