高阶矩的高斯似分布

对于均值和方差未知的高斯分布，标准指数族形式的充分统计量为。我的分布具有，其中N有点像设计参数。这种足够的统计向量是否有相应的已知分布？我需要此分布中的样本，因此从分布中获取准确的样本对我来说至关重要。非常感谢。 $T(x)=(x,x^2)$ $T(x)=(x,x^2,...,x^{2N})$

normal-distribution sampling exponential-family

— BE
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您是否尝试过集成以找到对数归一化器？

— 尼尔G

目前尚不清楚您是在谈论时刻还是足够的统计数据

— 亨利（Henry）

@NeilG，我有一个对数归一化器，这是一件相当复杂的事情，我真正想知道的是是否存在具有足够统计信息的已知分布，

— YBE

@亨利，我说的是足够的统计量，我试图与高斯情况进行类比，其中足够的统计量x对应于平均值，x ^ 2对应于方差/二阶矩。

— YBE 2012年

@MichaelChernick：对于给定的足够统计量，运营商量度和支持，您可以集成支持以找到对数归一化器。如果对数归一化器是有限的，那么我认为这个族存在。他已经做到了，他正在问这个家庭是否有名字。

— 尼尔·G

如果从“足够”的统计量则可以定义无限数量的分布。也就是说，对于采样空间上针对任意度量每个可测量函数，是指数族的密度，对于每个和该密度的iid样本，统计量就足够了。例如，对于任何可测量的函数，您可以通过以下方式定义密度 $T(x)$ $h(\cdot)$ $\text{d}\lambda$

f (x | θ) = \exp {θ \cdot T (x) - τ (θ)} h (x)

$f(x|\theta) = \exp\left\{ \theta\cdot T(x)-\tau(\theta) \right\} \,h(x)$

n

$n$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\ldots,x_n)$

\sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$\sum_{i=1}^n T(x_i)$

h

$h$

h (x) \exp {- (x - μ)^{2} / σ^{2}} / \int_{R} h (y) \exp {- (y - μ)^{2} / σ^{2}} d λ (y)

$h(x)\,\exp\{-(x-\mu)^2/\sigma^2\} \Big/ \int_{\mathbb{R}} h(y)\,\exp\{-(y-\mu)^2/\sigma^2\} \,\text{d}\lambda(y)$ ，这意味着也足以满足此分布要求。

T (x) = (x, x^{2})

$T(x)=(x,x^2)$

因此，任何对定义了一个指数族，这意味着您的问题没有答案。 $(h,T)$

— 西安
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