如何测试同一模型中的两个参数估计是否显着不同？

我有模特

$$y=x^a \times z^b + e$$

其中是因变量，和是解释变量，和是参数，是误差项。我有和参数估计以及这些估计的协方差矩阵。如何测试和是否显着不同？$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

评估和不同的假设 等同于检验零假设$a$$b$$a - b = 0$ （相对于）。$a-b\ne 0$

下面的分析假定您将估计为是合理的 它还接受您的模型公式（通常是一个合理的公式），因为误差是累加的（甚至可能产生负观测值），因此我们不允许通过取双方的对数来对其进行线性化。$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ ÿ$y$

的方差可以用的协方差矩阵表示为$U$$(c_{ij})$$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

当被估计与最小二乘，人们通常使用“t检验;” 也就是说， 分布是通过具有自由度的Student t分布进行近似的（其中是数据计数，是系数的数目） ）。无论如何，通常是任何测试的基础。例如，您可以执行Z测试（当大或与最大似然拟合时）或引导它。$(\hat a, \hat b)$

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ $n-2$$n$$2$$t$$n$

具体来说，t检验的p值由下式给出

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

其中是学生t（累积）分布函数。它是“尾部区域”的一种表达：（个自由度的）Student t变量等于或超过检验统计量$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

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一般来说，对于数字和您可以使用完全相同的方法来检验任何假设$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

反对双方的选择。（这包括“对比度”的特殊但普遍的情况。）使用估计的方差-协方差矩阵来估计的方差并形成统计量$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

前面是和$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

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为了检查此建议是否正确，我运行了以下R代码来根据该模型创建数据（具有正态分布错误e），进行拟合并多次计算的值。检查是的概率图（基于假定的Student t分布）紧跟对角线。这是在大小为的模拟中绘制的图，其中（选择了一个非常小的数据集，因为分布远离正态分布），而$t$$t$$500$$n=5$$t$$a=b=-1/2.$

至少在此示例中，该过程运行良好。 考虑使用反映您的情况的参数（误差标准偏差）和重新运行仿真。$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

这是代码。

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)