当零假设为

我想对来自二项式数据的单个样本进行功效分析， $H_0: p = 0$ ，而 $H_1: p = 0.001$ ，其中 $p$ 是总体中成功的比例。如果 $0 < p <1$ ，我可以使用任一的正态近似二项式，或 $\chi^2$ -test，但与 $p =0$ ，这些都失败。我很想知道是否可以进行这种分析。我非常感谢您的任何建议，评论或参考。非常感谢！

— 用户名
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那么，为什么不使用精确的Clopper-Pearson检验呢？

— 斯特凡·洛朗

我希望你有一个真正的大样本！这将很难测试。

— 彼得·富勒姆

Answers:

您有一个单边的精确替代假设，其中和。 $p_{1} > p_{0}$ $p_{1} = 0.001$ $p_{0} = 0$

$c$ $c$ $n$ $\alpha = 0.05$ $c=1$ $n \geqslant 1$ $\alpha > 0$
第二步是找出在替代假设下在大小为的样本中至少获得成功的概率-这就是您的能力。在这里，您需要一个固定的，以便完全指定二项式分布。 $c$ $n$ $n$ $\mathcal{B}(n, p_{1})$

R的第二步，： $n = 500$

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

要了解功效如何随样本大小变化，可以绘制一个功效函数：在此处输入图片说明

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

如果您想知道至少要达到预先指定的功效需要多少样本量，可以使用上面计算的功效值。假设您需要至少。 $0.5$

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

因此，您需要至少的样本大小才能达到功效。 $693$ $0.5$

— 卡拉卡尔
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根据pwr.p.test，对于0.5的功效，您至少需要677个观测值。但是功率= 0.5非常低！

— 杰西卡·2012年

@caracal您是否使用正态近似来获得功率曲线？精确的二项式幂函数不会那么平滑。它实际上是锯齿状的，您可以看到样本大小轴是否被放大。我在2002年与克里斯汀·刘合着的《美国统计学家》的论文中对此进行了讨论。同样，二项式在非常低的p处有很大的偏斜，以至于n必须大才能使正常逼近正常工作。

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick不，这是来自二项式分布，不是来自正态近似。当然，您是对的，通常来说，二项式检验的功效是一种非单调的锯齿函数。但是请注意，这里有一个特殊情况，。这意味着替代假设的接受区域始终从1开始，与无关。在恒定阈值，恒定，功率是的严格增加的函数。

p_{0} = 0

$p_{0} = 0$

n

$n$

c = 1

$c = 1$

p_{1} = 0.001

$p_{1} = 0.001$

n

$n$

— caracal 2012年

@Jessica请注意，pwr.p.test()使用正态近似，而不是精确的二项式分布。只需键入pwr.p.test即可查看源代码。您会找到调用以pnorm()表明已使用近似值。

— caracal 2012年

@caracal因此，我可以这样看：在原假设下，成功的概率为0，因此，如果您看到成功，则可以拒绝原假设。这就是为什么将阈值设为1的原因，因为如果二项式总和达到1，则您可以拒绝类型2错误0！现在，在备选方案中，第n次尝试的第一个成功的概率为（1-p） p。当n变为无穷大时，该概率变为0。因此，当S = 1时，任何p> 0的幂都为1 时，停靠的连续规则将停止。

^{n}

$^n$

^{-}

$^-$

^{1}

$^1$

_{n}

$_n$

— Michael R. Chernick

您可以使用pwrR中的软件包轻松回答这个问题。

您将需要定义重要性级别，功效和效果大小。通常，将显着性级别设置为0.05，将功效设置为0.8。更高的功率将需要更多的观察。较低的显着性水平将降低功效。

此包装中使用的比例的效果大小为Cohen's h。小h的截止值通常取为0.20。实际截止值因应用程序而异，在您的情况下可能会更小。h越小，意味着需要进行更多的观察。您说您的选择是。那很小 $p = 0.001$

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

但是我们仍然可以继续。

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

使用这些值，您至少需要1546个观测值。

— 杰西卡（Jessica）
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在您的特定情况下，有一个简单的精确解决方案：

在特定的零假设您永远都不会观察到成功。因此，一旦观察到成功，就可以确定。 $H_0: p=0$ $p\neq0$

在备选方案观察到至少1次成功所需的试验次数遵循几何分布。因此，为了获得最小样本数量以实现的幂，您需要找到最小的k，使得 $H_1: p=0.001$ $1-\beta$

1 - β \leq 1 - (1 - p)^{(k - 1)}

$1-\beta \leq 1-(1-p)^{(k-1)}$

因此，如果才能获得功率，则至少需要1610个样本。 $p=0.001$ $80%$

— 浮动
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在阅读对解决方案1的评论时，我意识到，这基本上与您坚持回答一个问题时所获得的解决方案相同。然而，无需凭直觉到达那里就可以阐明一些基本的概率论结果，这一点永远不会有害。

— 浮动