给定单个样本的概率为0，为什么MLE有意义？

我在回顾一些旧的统计数据时有一种奇怪的想法，由于某种原因，我似乎无法想到答案。

连续的PDF告诉我们在任何给定范围内的观测值的密度。即，如果$X \sim N(\mu,\sigma^2)$，例如，则概率一个实现落在之间$a$和$b$是简单地$\int_a^{b}\phi(x)dx$，其中$\phi$是标准正态的密度。

当我们考虑对参数（例如$\mu$进行MLE估计时，我们写出了$N$（随机变量$X_1 .. X_N$的联合密度。。X N并将对数似然比wrt区分为$\mu$，设置为0并求解$\mu$。通常给出的解释是“给定数据，该参数使该密度函数最合理”。

让我烦恼的部分是：我们的密度为$N$ rv，我们的样本表示，获得特定实现的概率恰好为0。在给定数据的情况下，为什么最大化关节密度甚至有意义（因为再次观察到我们实际样本的概率恰好是0）？

我能想到的唯一合理化方法是，我们希望使PDF 在我们观察到的样本周围尽可能达到峰值，以使该区域中的积分（从而观察该区域中的东西的概率）最高。

任何样品，的概率$\mathbb{P}_\theta(X=x)$，是等于零，但一个样本是通过从一个概率分布绘图实现。因此，概率是评估样本及其发生可能性的错误工具。Fisher（1912）定义的统计似然性是基于当δ变为零时在长度δ的间隔内观察样本$x$的概率的有限论点（引自Aldrich，1997）：$\delta$$\delta$

$\qquad\qquad\qquad$

当用$\delta$重新归一化此概率时。似然函数项仅在Fisher（1921）中引入，而最大似然在Fisher（1922）中引入。

尽管卡尔·弗里德里希·高斯（Carl FriedrichGauß）在“最可能值”的名称下使用了先验概率为倒数的原则（贝叶​​斯推断），但他已在1809年得出了正态分布方差参数的最大似然估计量。Hald（1999）提到了Fisher于1912年发表的论文之前出现的其他几项最大似然估计值，它们确定了一般原理。

最大似然法的另一个理由是，由于样本对数似然重新归一化$(x_1,\ldots,x_n)$