置信区间与样本量？

我是统计和置信区间领域的新手。因此，这可能非常琐碎，甚至听起来很愚蠢。如果您能帮助我理解或指出一些可以更好地说明这一点的文献/文字/博客，我将不胜感激。

我在美国有线电视新闻网（CNN），福克斯新闻（Fox news），政治新闻（Poliitico）等各种新闻网站上看到了有关2012年美国总统大选的民意调查。每个机构都进行一些民意调查，并以以下形式报告一些统计数据：

CNN：奥巴马的人气为X％，误差幅度为+/- x1％。样本数量600。FOX：奥巴马的受欢迎程度为Y％，误差幅度为+/- y1％。样本数量800。XYZ：Obama的受欢迎程度为Z％，误差范围为+/- z1％。样本数量300。

这是我的疑问：

1. 我该如何决定信任哪一个？应该基于置信区间，还是应该假设由于Fox样本量较大，因此估计更为可靠吗？置信度迭代次数和样本数量之间是否存在隐式关系，以至于指定一个样本就不必指定另一个样本了？

2. 我可以确定置信区间的标准偏差吗？如果是这样，它始终有效还是仅对某些分布有效（如高斯分布）？

3. 有什么方法可以“合并”或“合并”以上三个估计，并获得我自己的估计以及置信区间？在这种情况下，我应主张多少样本数量？

我提到CNN / Fox只是为了更好地说明我的示例。我无意在这里开始民主党与共和党的辩论。

请帮助我理解我提出的问题。

除了彼得的出色答案，以下是一些针对您特定问题的答案：

1. 值得信任的人还取决于谁在进行民意测验以及他们为获得高质量民意测验所做的努力。如果样本不具有代表性，则进行较大的投票不会使样本规模更大，但仅在一种非摇摆状态下不会产生很好的结果。

   样本大小与置信区间的宽度之间存在关系，但是其他因素也会影响宽度，例如百分比接近0、1或0.5的程度。使用了哪些偏差调整，如何采集样品（成簇，分层等）。一般规则是，置信区间的宽度将与$\frac{1}{\sqrt{n}}$，因此，将间隔减半需要采样量的4倍。

2. 如果您足够了解样本的收集方式以及使用什么公式计算间隔，则可以求解标准差（您还需要知道所使用的置信度，通常为0.05）。但是，分层样本和聚类样本的公式不同。同样，大多数民意调查都关注百分比，因此将使用二项分布。

3. 有多种方法可以合并信息，但是您通常需要了解有关如何收集样本的知识，或者愿意对间隔的构造方式做出某种形式的假设。贝叶斯方法是一种方法。

这是一个巨大的话题，但是基本上有两个问题：

1）精度-这取决于样本量。较大的样本可提供更精确的估计值，并具有较低的标准误差和较小的置信区间

2）偏见-在统计上，偏见不一定具有它在其他地方所具有的负面含义。在民意调查中，他们尝试获取XXXX的随机样本（有时可能是选民，有时是注册选民）。但是，他们没有。有些民意测验仅使用固定电话。不同的人群或多或少地回答。不同的群体或多或少会挂断电话。

因此，所有民意测验者都会权衡其回应。也就是说，他们试图调整结果以匹配有关选民的已知事实。但是他们的做法有所不同。因此，即使使用相同的轮询输入数据，它们也会给出不同的数字。

谁信任？好吧，如果您看一下内特·西尔弗（Nate Silver）在538上的工作，他会对以前选举中民意测验的准确性进行了评级。但这并不意味着它们现在将同样准确。

这属于调查抽样范围。原则上，这些方法有效，因为使用了随机化。根据主观决定，以下是一些可能在民意测验中有所不同的事情。

1. 采样框。我应该从哪一组选民中抽取样本？

2. 我如何处理尚未决定的选民的动荡，他们可能会根据昨天的民意测验或下周的调查改变对奥巴马与罗姆尼的看法？

3. 彼得感动了偏见。1936年的文学摘要调查是一场灾难。它选择FDR的共和党候选人，因为抽样框是基于电话号码的随机选择。1936年，只有中上层阶级和富人拥有电话。该团体由倾向于投票支持共和党候选人的共和党人主导。罗斯福以压倒性优势获胜，他们从穷人和中产阶级那里获得了选票，而这些人往往是一群民主党人！这说明了由于采样帧选择不佳而造成的偏差。

4. 调查抽样处理有限的人口。总体大小为N。假设从该总体中抽取了一个简单的随机样本，其大小为n。为简单起见，假设只有奥巴马和罗姆尼在竞选。奥巴马将在此抽样框架中获得的选票比例是二元变量的平均值（例如，如果受访者选择奥巴马，则为1，而罗姆尼为0）。该变量的样本均值方差为[p（1-p）/ n] [Nn] / N，其中p是选择奥巴马的真实人口比例。[Nn] / N是有限人口校正。在大多数民意测验中，N比N大得多，正确的值可以忽略。查看p（1-p）/ n，我们看到方差随着n减小。因此，如果n大，则给定置信度下的置信区间将变小。

美国人口普查局的Pollsters其他调查抽样人员和统计人员都可以使用这些统计工具，并且他们可以使用更复杂和准确的方法（群集随机抽样和分层随机抽样提到了两种方法）。

当它们的建模假设有效时，这些方法可以很好地工作。出口投票就是一个典型的例子。在选举日，您会看到网络几乎在几乎每个州都遥遥领先之前，几乎在每个州都能准确预测赢家。那是因为选举日的可变性消失了。他们从历史上就知道人们倾向于投票的方式，并且可以通过避免偏见来确定选定的区域。网络有时有所不同。这可能是由于竞争优先于其他人选拔优胜者。在极少数情况下，也可能是因为投票非常接近（例如，佛罗里达州的2000年总统选举）。

我希望这可以使您对发生的事情有更清晰的了解。我们再也不会看到诸如1948年的“杜威击败杜鲁门”或1936年的《文学文摘》惨案之类的重大错误。但是，统计数字并不完美，统计学家永远不能说他们是肯定的。