寻找一种模拟这种分布的随机数的方法

20

我试图用R编写一个程序，该程序使用累积分布函数模拟来自分布的伪随机数：

F (x) = 1 - \exp (- a x - \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}), x \geq 0

$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$

其中 $a,b>0, p \in (0,1)$

我尝试了逆变换采样，但是逆解析似乎无法解决。如果您可以提出解决方案，我将很高兴

r random-generation

— 塞巴斯蒂安
source

1

没有足够的时间来获得完整的答案，但是您可以选择重要性抽样的算法。

— 一人为

1

这不是教科书练习，我只规定了约束条件，因为这是对我的数据的合理假设

— Sebastian

6

然后，我对

的“神奇”归一化感到惊讶，该归一化

(p + 1)^{- 1}

$(p+1)^{-1}$ 将分布变成了指数的理想幂，但是奇迹的确发生了（可能性很小）。

— 西安

49

有一个简单的（且如果我可以添加，优雅）解决了这个运动：自 $1-F(x)$ 出现像两个存活分布的产物：

(1 - F (x)) = \exp {- a x - \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}} = \underset{1 - F_{1} (x)}{\underset{⏟}{\exp {- a x}}} \underset{1 - F_{2} (x)}{\underset{⏟}{\exp {- \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}}}}

$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$

F

$F$

X = min {X_{1}, X_{2}} X_{1} \sim F_{1}, X_{2} \sim F_{2}

$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$

F_{1}

$F_1$

E (a)

$\mathcal{E}(a)$

F_{2}

$F_2$

1 / (p + 1)

$1/(p+1)$

E (b / (p + 1))

$\mathcal{E}(b/(p+1))$

关联的R代码非常简单

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

并且绝对比逆pdf和accept-reject分辨率快得多：

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163

毫不奇怪的完美配合：

— 西安
source

5

真的很酷的解决方案！

— 塞巴斯蒂安

14

您总是可以用数值方法求解逆变换。

下面，我做一个非常简单的二等分搜索。对于给定的输入概率（由于您的公式中已经有，所以我使用），我从和。然后我将直到。最后，我将等距直到其长度小于且其中点满足。 $q$ $q$ $p$ $x_L=0$ $x_R=1$ $x_R$ $F(x_R)>q$ $[x_L,x_R]$ $\epsilon$ $x_M$ $F(x_M)\approx q$

对于我对和选择，ECDF非常适合您的，并且速度相当快。您可能可以通过使用某些Newton型优化而不是简单的二等分搜索来加快速度。 $F$ $a$ $b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

— S. Kolassa-恢复莫妮卡
source

10

如果通过接受拒绝直接解决问题，则有些费解。首先，简单的区分表明分布的pdf为其次，由于我们有上限第三，考虑的第二项，取变量，即。然后是变量变化的雅可比行列式。如果

f (x) = (a + b x^{p}) \exp {- a x - \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}}

$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$

f (x) = a e^{- a x} \underset{\leq 1}{\underset{⏟}{e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)}}} + b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)} \underset{\leq 1}{\underset{⏟}{e^{- a x}}}

$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$

f (x) \leq g (x) = a e^{- a x} + b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)}

$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$

g

$g$

ξ = x^{p + 1}

$\xi=x^{p+1}$

x = ξ^{1 / (p + 1)}

$x=\xi^{1/(p+1)}$

\frac{d x}{d ξ} = \frac{1}{p + 1} ξ^{\frac{1}{p + 1} - 1} = \frac{1}{p + 1} ξ^{\frac{- p}{p + 1}}

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$

X

$X$ 密度为，其中是归一化常数，则的密度为，这意味着（i）为分布为指数变量，并且（ii）常数等于1。因此，结束是等于一个指数的权重相等混合物分布和的指数的次方

κ b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)}

$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$

κ

$\kappa$

Ξ = X^{1 / (p + 1)}

$\Xi=X^{1/(p+1)}$

κ b ξ^{\frac{p}{p + 1}} e^{- b ξ / (p + 1)} \frac{1}{p + 1} ξ^{\frac{- p}{p + 1}} = κ \frac{b}{p + 1} e^{- b ξ / (p + 1)}

$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$

Ξ

$\Xi$

E (b / (p + 1))

$\mathcal{E}(b/(p+1))$

κ

$\kappa$

g (x)

$g(x)$

E (a)

$\mathcal{E}(a)$

1 / (p + 1)

$1/(p+1)$

E (b / (p + 1))

$\mathcal{E}(b/(p+1))$ 分布，对缺失的乘法常数模，以计算权重：而且，很容易作为混合物进行模拟。

2

$2$

f (x) \leq g (x) = 2 (\frac{1}{2} a e^{- a x} + \frac{1}{2} b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)})

$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$

g

$g$

因此，接受拒绝算法的R渲染是

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

对于n样本：

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

这是a = 1，b = 2，p = 3的图示：

— 西安
source