居中意味着减少协方差吗？

假设我有两个非独立的随机变量，并且想在不损失过多“信号”的情况下尽可能减小它们之间的协方差，这是否意味着居中？我在某处读到，意思是居中将相关性降低了一个重要因素，所以我认为对协方差也应如此。

如果和是随机变量，而和是常数，则 居中是和的特例，因此居中不会影响协方差。$X$$Y$$a$$b$

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X + a, Y + b) &= E[(X + a - E[X + a])(Y + b - E[Y + b])] \\ &= E[(X + a - E[X] - E[a])(Y + b - E[Y] - E[b])] \\ &= E[(X + a - E[X] - a)(Y + b - E[Y] - b)] \\ &= E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &= \operatorname{Cov}(X, Y). \end{aligned}$$ $a = -E[X]$$b = -E[Y]$

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另外，由于相关性定义为 我们可以看到 因此，特别地，相关性也不受居中影响。

$$\operatorname{Corr}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}},$$ $$\begin{aligned} \operatorname{Corr}(X + a, Y + b) &= \frac{\operatorname{Cov}(X + a, Y + b)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X + a) \operatorname{Var}(Y + b)}} \\ &= \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}}, \end{aligned}$$

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那是故事的人口版本。示例版本是相同的：如果我们使用 作为我们之间的协方差估计配对样本和然后

$$\widehat{\operatorname{Cov}}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)\left(Y_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right)$$ $X$$Y$$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$ $$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Cov}}(X + a, Y + b) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i + a - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j + a)\right)\left(Y_i + b - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j + b)\right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i + a - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j - \frac{n}{n} a\right)\left(Y_i + b - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j - \frac{n}{n} b\right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)\left(Y_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right) \\ &= \widehat{\operatorname{Cov}}(X, Y) \end{aligned}$$ for任何和。$a$$b$

和的协方差的定义是。该公式中的表达式是的居中版本。因此，当我们采用协方差时，我们已经使居中，并且居中是一个幂等算子。变量居中后，再次应用居中过程不会更改它。如果公式不采用变量的居中形式，则将产生各种奇怪的影响，例如温度和另一个变量之间的协方差会有所不同，具体取决于我们以摄氏度还是开尔文测量温度。$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$$X-E[X]$$X$$X$

“某处”往往是一个不可靠的来源。

协方差/相关性通过显式居中定义。如果您不对数据进行居中，那么您就不在计算协方差/相关性。（正好是：皮尔逊相关性）

主要区别在于您是基于理论模型（例如，预期值应恰好为0）还是基于数据（算术平均值）进行居中。不难看出，算术平均值将产生比任何其他中心小的协方差。

然而，较小的协方差并不意味着较小的相关性，或者相反。假设我们有数据X =（1,2）和Y =（2,1）。很容易看出，以算术平均值为中心，这将产生完全负相关，而如果我们知道生成过程平均产生0，则数据实际上是正相关的。因此，在此示例中，我们将居中-但理论期望值为0。

这很容易出现。考虑我们有一个11x11的传感器阵列，其单元编号为-5到+5。在寻找传感器事件的相关性时，在此处使用我们传感器阵列的“物理”平均值确实有意义（而不是算术平均值）（如果我们枚举0到10的像元，则将5用作固定均值，并且我们会得到完全相同的结果，因此索引选择会从分析中消失-很好）。