有没有非常低的功效的“深奥”统计检验？

背景

在计算机科学，数学以及某些其他领域，“深奥”的例子不仅很有趣，而且有助于说明某些概念，例如：

Bogosort和Slowsort是效率很低的排序算法，可用于了解算法的属性，特别是与其他排序算法相比时。
神秘的编程语言证明了编程语言的概念具有深远的意义，并有助于欣赏优质的编程语言。
该魏尔斯特拉斯函数和狄氏功能主要发现使用说明关于连续性的概念，某些误解。

我目前正在准备一些有关使用假设检验的教学方法，并认为以极低的功效（但没有其他缺陷）进行检验将有助于说明统计功效的概念。（当然，我仍然必须自己决定一个给定的例子对我的听众是否有教益或仅仅是令人困惑。）

实际问题

是否有任何故意降低功耗的统计测试，更具体地说：

该检验符合假设检验的一般框架，即，它适用于原假设，具有要求并返回（正确的）p 值。
它不打算/不建议用于严重的应用。
它具有非常低的功率（由于故意的设计缺陷，而不是由于样本或效应量较小）。

如果您可以从根本上说不存在这样的测试，我也将认为这是对我的问题的有效答案。另一方面，如果存在大量这样的测试，那么我对教学上最有效的测试感兴趣，也就是说，它应该易于获得并且具有惊人的效果。

请注意，我并不是要对统计错误（樱桃采摘等）或类似情况进行一般选择。

我到目前为止发现的

互联网搜索对我没有任何回报。

每次构建这样的东西的尝试都以某种（有用的）现有测试或格式不是常规测试而告终。例如，我考虑过一个检验，如果总体样本中位数为正，则总体中位数是否为正，则仅返回是。但是该测试不会返回p 值，因此不适合通常的测试框架。如果仅将正负号作为测试统计量（并相应地计算p 值），那么我最终会进行正负号test，这是一个合理的测试。

hypothesis-testing teaching humor

— Wrzlprmft
source

从数学上讲，“深奥的”例子（比比皆是）往往是流行的误解的具体反例。许多教科书都包含此类示例。就目前而言，您的问题本质上是“大列表”类型的问题，因此范围太广（尽管您应该注意，有几个用户得出的结论是不清楚的）；如果您可以澄清问题并缩小范围，则可能更适合该站点。

— Glen_b-恢复莫妮卡

低功耗相比又是什么？莱曼给出了一个广义似然比检验的例子，该检验在任何其他假设下的功效都低于零假设。

— Scortchi-恢复莫妮卡

应用Rao-Blackwellization的任何愚蠢的估计量都可以用作检验统计量。例如，样本中有第一个观察值，用作均值的估计量。当Rao-Blackwellized时，您将获得样本均值。我在课堂上不得不做很多这样的练习。不管怎么说，这个统计可以用来代替样本均值的像一个

t

$t$ 检验中，。但是，不，我无法直接以您要查找的形式想到任何东西，否则我会写一个答案，而不是评论。但是必须有一些东西，说明测试构造的通用方法的失败。

— user54038 '19

当我在计算机上时，我将挖掘雷曼论文。空值下的测试的功效只是测试的大小。

— Scortchi-恢复莫妮卡

我在一个学生时代（很多年前）中使用的一个示例测试是“滚动20面公平的模子，如果滚动1则拒绝”（作为讨论功率曲线的一部分）。当然，这完全忽略了数据，但是是“有效”测试，因为它没有高于所需的I类错误率（在给出示例的上下文中为5％）。

— Glen_b-恢复莫妮卡

Answers:

E ϕ (X) = α

$\operatorname{E}\phi(X)=\alpha$

ϕ (x) = {\begin{cases} 0 & when f_{0} (x) < k f_{1} (x) \\ 1 & when f_{0} (x) > k f_{1} (x) \end{cases}

$\phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when $f_0(x) < kf_1(x)$} \\ 1\ & \text{when $f_0(x) > kf_1(x)$} \end{cases}$

α

$\alpha$

ϕ

$\phi$

H_{0} :

$H_0:$

f_{0}

$f_0$

H_{1} :

$H_1:$

f_{1}

$f_1$

x

$x$

从这个结果中，您可以得出均匀最小功率，局部最小功率，均匀最小功率相似和最小功率的“完全偏置”测试（我的意思是，在任何替代情况下，其功率均低于零值）。如果您已经拥有统一的最强大的功能，则＆c。测试时，只需将测试统计量乘以-1即可维持它引起的样本空间的分区，同时反转分区的顺序。

就像@ user54038所暗示的那样，也许“测试构建的通用方法失败”可能会更有趣。莱曼（1950），“检验统计假设理论的一些原理”，安。数学。统计员。，21，1，将以下示例归因于Stein：

$X$ $0, \pm 1, \pm 2$

$\begin{array}{rccccc} - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ Hypothesis H : & \frac{α}{2} & \frac{α}{2} & \frac{1}{2} - α & \frac{1}{2} - α & α \\ Alternatives: & p C & (1 - p) C & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & α \frac{1 - c}{1 - α} \end{array}$ $\begin{array}{r c c c c c} & -2 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \hline \text{Hypothesis $H$:} & \frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha}{2} & \frac{1}{2} - \alpha & \frac{1}{2} - \alpha & \alpha\\ \hline \text{Alternatives:} & pC & (1-p)C & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \alpha\frac{1-c}{1-\alpha}\\ \end{array}$ $\alpha$ $C$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ $\frac{\alpha}{2-\alpha}< C <\alpha$ $p$ $[0,1]$

$H$ $\alpha$ $X=\pm2$ $C$ $C<\alpha$ $\alpha$ $X$

$p$ $X=-2$ $X=2$ $\hat p=1$ $\hat p=0$ $\frac{2C}{\alpha}$ $X$ $\frac{1-C}{1-\alpha}$

— Scortchi
source

（与@Scortchi的评论有关）

$X \sim N(\mu, 1)$

\begin{aligned} H_{0} & : μ = 0 \\ H_{1} & : μ \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}$

$Z \sim Bernoulli(p)$ $p$ $\alpha$ $p \in [\alpha, 1]$

R = {(X, Z) | z = 1 \land | x | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})}

$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$

$\alpha$

\begin{aligned} P (X \in R | μ = 0) & = P (Z = 1, | X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = P (Z = 1) P (| X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = p \frac{α}{p} = α \end{aligned}

$\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}$

$p$ $(x, z) = (1000000, 0)$ $p=\alpha$ $X$ $\alpha$

$Z$

— Knrumsey
source

S

$S$

Z = 1 (S < F_{S}^{- 1} (p))

$Z=\boldsymbol{1}(S<F_S^{-1}(p))$

F_{S} (\cdot)

$F_S(\cdot)$

S

$S$