的概率

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假设 $X_1$ 和 $X_2$ 是具有参数 $p$ 独立几何随机变量。什么是概率 $X_1 \geq X_2$ ？

我对这个问题感到困惑，因为除了 $X_1$ 和 $X_2$ 是几何图形之外，我们什么都没告诉。这不是 $50\%$ 因为 $X_1$ 和 $X_2$ 可以在该范围内吗？

编辑：新尝试

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ 和 $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

因此， $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
添加 $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ 到的是，我得到 $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

它是否正确？

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
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3

请添加“自学”标签。

— StubbornAtom

1

实际上，因为X1和X2是离散变量，所以相等使事情变得不太明显。

— usεr11852

13

不能为 $50\%$ 因为 $P(X_1=X_2)>0$

一种方法：

考虑三个事件 $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ 和 $P(X_1=X_2)$ ，它们划分了样本空间。

前两个之间有明显的联系。为第三个写一个表达式并简化。因此解决问题。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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我用新答案编辑了帖子。您可以看看它是否正确吗？

— IrCa '19

1

是的，您的答案看起来正确。一种替代的方法（使用了类似的想法）。将注意到，

（再次利用

和

的对称性/可交换性）。

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b-恢复莫妮卡

6

按照格伦的建议，您的回答是正确的。另一种不太优雅的方法只是适应：

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

处理两个几何序列后，这将为您提供相同的 $1/(2-p)$ 。格伦的方法更好。

— 禅
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4

注意-我认为您的方式更适合解决新问题。因为它是基于第一原则的。来自glen_b答案的窍门/暗示通常是在问题以您的方式解决之后发生

— 概率

3

@probabilityislogic，我与您分享对“第一原理”派生的热情。但是，对于现代数学家来说，寻找和利用对称性比您所引用的第一个原理（定义）更为根本：我们可以称其为数学的元原理。这不仅仅是一个“把戏”。

— ub