在两个变量的对数之间具有线性关系的直观含义是什么？

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我有两个变量，当按原样相互绘制时，它们并没有显示出太多的相关性，但是当我绘制每个变量的对数时，它们之间却呈现出非常清晰的线性关系。

所以我最终得到一个类型的模型：

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a \log(X) + b$ ，在数学上很棒，但是似乎没有常规线性模型的解释价值。

如何解释这样的模型？

regression correlation log

— 赤池的孩子
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对于现有的答案，我没有什么实质性的补充，但是结果的对数和预测变量是弹性。搜索该术语应找到一些很好的资源来解释这种关系，这不是很直观。

— Upper_Case-Harming莫妮卡

对数-对数模型的解释为：

，因变量为log（y），自变量为log（x）

% Δ = β_{1} % Δ x

$\%Δ=β_1\%Δx$ 。

— 鲍勃

3

当结果是二进制（风险模型）并且暴露是累积的（例如性伴侣数量与HIV感染）时，互补的log-log链接是理想的GLM规范。jstor.org/stable/2532454

— AdamO

2

@Alexis，如果覆盖曲线，则可以看到粘滞点。尝试curve(exp(-exp(x)), from=-5, to=5)与curve(plogis(x), from=-5, to=5)。凹面加速。如果一次遭遇事件的风险为

p

$p$ ，则第二次事件之后的风险应为

1 - (1 - p)^{2}

$1-(1-p)^2$ ，依此类推，这是概率形状logit无法捕获的。高的高暴露量将使逻辑回归结果更加明显地倾斜（错误地根据先前的概率规则）。一些模拟将向您显示。

— AdamO

1

@AdamO可能会写一篇包含这样的模拟的教学论文，以激发如何从三个之中选择一个特定的二分结果链接，包括它有或没有区别的情况。

— Alexis

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您只需要对等式两边都取指数，就可以得到潜在的关系，这对某些数据可能是有意义的。

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a\log(X) + b$

\exp (\log (Y)) = \exp (a \log (X) + b)

$\exp(\log(Y)) = \exp(a \log(X) + b)$

Y = e^{b} \cdot X^{a}

$Y = e^b\cdot X^a$

并且由于只是可以采用任何正值的参数，因此该模型等效于： $e^b$

Y = c \cdot X^{a}

$Y=c \cdot X^a$

应当注意，模型表达式应包括误差项，并且变量的这些变化对其具有有趣的影响：

\log (Y) = a \log (X) + b + ϵ

$\log(Y) = a \log(X) + b + \epsilon$

Y = e^{b} \cdot X^{a} \cdot \exp (ϵ)

$Y = e^b\cdot X^a\cdot \exp(\epsilon)$

也就是说，您的模型具有符合OLS条件的加性误差（具有恒定方差的正态分布误差）等效于具有乘法误差的潜在模型，其对数遵循具有恒定方差的正态分布。

— 佩雷
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3

OP可能有兴趣知道此分布有一个名称，即对数正态：en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

— gardenhead

2

詹森不平等的影响如何？通常对于凸g，

E [g (X)] \geq g (E [X])

$E[g(X)]≥g(E[X])$

— 统计数据

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您可以采用模型并计算总差，最终会得到类似结果 $\log(Y)=a\log(X)+b$

\frac{1}{Y} d Y = a \frac{1}{X} d X

$\frac{1}YdY=a\frac{1}XdX$

\frac{d Y}{d X} \frac{X}{Y} = a

$\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}=a$

因此，系数的一个简单的解释将在百分比变化用于在变化百分比。此外，这意味着变量以的增长率的恒定比率（）增长。 $a$ $Y$ $X$ $Y$ $a$ $X$

— RScrlli
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因此，如果对数-对数图是线性的，那意味着增长率恒定吗？

— Dimitriy V. Masterov

实际上，当且仅当，的增长率将是恒定的。

Y

$Y$

a = 0

$a=0$

— RScrlli

不随时间推移，相对于x增长率的增长率。

— Dimitriy V. Masterov

重新排序无济于事，我将其删除

— Aksakal

1

@ DimitriyV.Masterov好，然后，由于在是线性的，这意味着变量以的增长率的恒定分数增长。根据您的回答，我的答案有问题吗？

\log (Y)

$\log(Y)$

\log (X)

$\log(X)$

Y

$Y$

X

$X$

— RScrlli

7

直观地，给出了变量的数量级，因此我们可以将关系视为两个变量的数量级线性相关。例如，将预测变量增加一个数量级可以与响应的三个数量级的增加相关联。 $\log$

使用对数-对数图进行绘制时，我们希望看到线性关系。使用此问题的示例，我们可以检查线性模型假设：

日志日志

— wr
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3

+1为一个不直观的概念提供直观的答案。但是，您包含的图像显然违反了整个预测变量的恒定误差方差。

— 弗朗斯·罗登堡

1

答案是正确的，但作者身份归属是错误的。该图片不应归因于Google图片，而至少应归因于该图片所在的网页，只需点击Google图片即可找到该图片。

— 佩雷

@Pere很遗憾，我找不到图像的原始来源（至少使用反向图像搜索）

— qwr

它似乎最初来自diagramss.us，尽管该网站已关闭，并且除主页

— Henry

4

将@Rscrill的答案与实际离散数据进行协调，请考虑

\log (Y_{t}) = a \log (X_{t}) + b, \log (Y_{t - 1}) = a \log (X_{t - 1}) + b

$\log(Y_t) = a\log(X_t) + b,\;\;\; \log(Y_{t-1}) = a\log(X_{t-1}) + b$

⟹ \log (Y_{t}) - \log (Y_{t - 1}) = a [\log (X_{t}) - \log (X_{t - 1})]

$\implies \log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = a\left[\log(X_t)-\log(X_{t-1})\right]$

但

\log (Y_{t}) - \log (Y_{t - 1}) = \log (\frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}}) \equiv \log (\frac{Y_{t - 1} + Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}) = \log (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = \log\left(\frac{Y_t}{Y_{t-1}}\right) \equiv \log\left(\frac{Y_{t-1}+\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) = \log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ 是周期和之间的的百分比变化，或的增长率，例如。当它小于，我们可以接受的近似值为 $Y$ $t-1$ $t$ $Y_t$ $g_{Y_{t}}$ $0.1$

\log (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}) \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} = g_{Y_{t}}

$\log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) \approx \frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}=g_{Y_{t}}$

因此我们得到

g_{Y_{t}} \approx a g_{X_{t}}

$g_{Y_{t}}\approx ag_{X_{t}}$

这在实证研究中验证了@Rscrill的理论处理。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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1

这可能是数学家所称的直觉 :)

— 理查德·哈迪

2

对数之间的线性关系等效于幂定律的依赖关系：在物理学中，这种行为意味着系统是无标度的或标度不变的。例如，如果是距离或时间，则意味着对的依赖关系无法通过特征长度或时标来表征（与指数衰减相反）。结果，这种系统表现出对的长期依赖性。

Y \sim X^{α}

$Y \sim X^\alpha$

X

$X$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Itamar
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