在贝叶斯推断中，为什么某些项从后验预测中删除？

在Kevin Murphy 对高斯分布的共轭贝叶斯分析中，他写道，后验预测分布是

$$p(x \mid D) = \int p(x \mid \theta) p(\theta \mid D) d \theta$$

其中是适合模型的数据，而是看不见的数据。我不明白的是为什么对的依赖性在积分的第一项中消失了。使用基本的概率规则，我期望：$D$$x$$D$

$$\begin{align} p(a) &= \int p(a \mid c) p(c) dc \\ p(a \mid b) &= \int p(a \mid c, b) p(c \mid b) dc \\ &\downarrow \\ p(x \mid D) &= \int \overbrace{p(x \mid \theta, D)}^{\star} p(\theta \mid D) d \theta \end{align}$$

问：为什么在依赖足月消失？$D$$\star$

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对于它的价值，我已经在其他地方看到了这种表述（在条件变量中删除变量）。例如，在Ryan Adam的贝叶斯在线变更点检测中，他将后验预测写为

$$p(x_{t+1} \mid r_t) = \int p(x_{t+1} \mid \theta) p(\theta \mid r_{t}, x_{t}) d \theta$$

再一次，由于，我本来期望$D = \{x_t, r_t\}$

$$p(x_{t+1} \mid x_t, r_t) = \int p(x_{t+1} \mid \theta, x_t, r_t) p(\theta \mid r_{t}, x_{t}) d \theta$$

这是基于给定的条件独立于的假设。在许多情况下，这是一个合理的假设，因为它只表示训练和测试数据（分别为和）是从同一组未知参数中独立生成的。给定这种独立性假设，，因此退出了您期望的更一般形式。$x$$D$$\theta$$D$$x$$\theta$$p(x|\theta,D)=p(x|\theta)$$D$

在第二个示例中，似乎正在应用类似的独立性假设，但是现在（明确地）跨时间使用。这些假设可以在本文的其他地方明确声明，或者对于那些熟悉问题背景的人来说可能是隐含的（尽管这不一定意味着在您的特定示例中-我并不熟悉） -作者是正确的假设）。

这是因为在给定的情况下，假定与无关。换句话说，假定所有数据均来自具有参数的正态分布。一旦使用信息，从考虑到，没有更多的信息为我们提供了一个新的数据点。因此，。$x$$D$$\theta$$\theta$$\theta$$D$$D$$x$$p(x|\theta, D) = p(x|\theta)$