如何测试？

假设我有三个独立的组，分别为均值。 $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$

如何使用每个组中的样本来测试是否？ $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ $n_1,~n_2,~n_3$

我想知道一些一般的方法，而不是详细的计算。我不知道如何设置假设和。 $H_0$ $H_1$

hypothesis-testing multiple-comparisons isotonic

— 456123
source

这是顺序受限的统计推断的情况。有关于这个主题的书。

— kjetil b halvorsen

还有Barlow，Bartholemew，Bremner和Brunk的统计推理在顺序限制下的那本旧书（1973年）（尽管此后有了一些发展）。就非参数测试而言，有Jonckheere-Terpstra测试（例如，请参阅Conover）和Match测试之一（请尝试由Neave和Worthington撰写）。您通常会写一个等式null和有序替代。

— Glen_b-恢复莫妮卡

类似的问题答案

— kjetil b halvorsen

在这里，应该说，不是一个人拥有来自第

组的

样本

而是一个人拥有来自第

组的大小

的样本

n_{i}

$n_i$

i,

$i,$

n_{i}

$n_i$

i .

$i. \qquad$

— Michael Hardy

Answers:

在统计信息中，您无法测试“ X是否为真”。您只能尝试寻找证据证明原假设为假。

比方说，你的原假设为

H_{0}^{1} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3} .

$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$ 让我们还假设你有估计矢量的方式

μ = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3})^{'}

$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ 。为了使问题简单地假定有一个估计

x \sim N (μ, Σ),

$x \sim N(\mu, \Sigma),$ 其中

Σ

$\Sigma$ 是

3 \times 3

$3 \times 3$ 的协变量矩阵。我们可以将原假设重写为

A μ < 0,

$A \mu < 0,$ 其中这表明您的零假设可以表示为向量的不等式限制。A自然估计量由现在，您可以使用该框架来测试法向向量上的不等式约束：

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$

A μ

$A \mu$

A μ

$A\mu$

A x \sim N (A μ, A Σ A^{'}) .

$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$

工藤晃男（1963）。“单面测试的多元类似物”。在：Biometrika 50.3 / 4，第403-418页。

如果正态性假设仅近似保持（“渐近”），则该测试也将起作用。例如，如果您可以从组中绘制样本均值，则它将起作用。如果您绘制大小为样本并且可以独立于组进行绘制，则是对角线对角矩阵其中是组的方差。在应用程序中，您可以使用样本方差而不是未知总体方差，而无需更改测试的属性。 $n_1, n_2, n_3$ $\Sigma$

(σ_{1}^{2} / n_{1}, σ_{2}^{2} / n_{2}, σ_{3}^{2} / n_{3})^{'},

$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$

σ_{k}^{2}

$\sigma_k^2$

k = 1, 2, 3

$k = 1, 2, 3$

另一方面，如果您的替代假设是那么您的原假设变成这不是很可操作。请记住，我们的新替代假设可以写为所以我不知道是否有任何专门的测试，但是您绝对可以尝试基于连续测试的策略。请记住，您尝试查找反对无效的证据。因此，您可以先测试然后再测试如果两次都拒绝那么您已经找到证据证明

H_{1}^{2} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3}

$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$

H_{0}^{2} : NOT H_{1} .

$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$

H_{1} : A μ < 0

$H_1: A\mu <0$

H_{0}^{2} : there exists a k = 1, 2 such that (A μ)_{k} \geq 0 .

$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$

H_{0, 1}^{2} : (A μ)_{1} \geq 0.

$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$

H_{0, 2}^{2} : (A μ)_{2} \geq 0.

$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$

H_{0}

$H_0$ 为假，并且您拒绝。如果您不这样做，那么您就不会拒绝。由于您要进行多次测试，因此必须调整子测试的名义水平。您可以使用Bonferroni校正或找出精确的校正（因为您知道）。

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

Σ

$\Sigma$

为构造测试的另一种方法是，注意这意味着将用作测试统计量。该测试将在非零值下具有非标准分布，但适当的临界值仍应相当容易计算。 $H_0^2$

H_{0}^{2} : max_{k = 1, 2} (A μ)_{k} \geq 0.

$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$

max A x

$\max Ax$

— 安德烈亚斯（Andreas Dzemski）
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公平地说，我编辑了答案。

— Andreas Dzemski '19年

好答案（+1）。只是为了改善它多一点，我可以建议更换

与

，这样的符号反映的意图，这种对象是一个估计

。

x

$x$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

μ

$\mu$

— 本-恢复莫妮卡

@ andreas-dzemski提供的答案只有在我们知道数据呈正态分布的情况下才是正确的。

如果我们不知道分布，我相信运行非参数测试会更好。在这种情况下，最简单的方法似乎是进行置换测试。这是一本有关该主题的书，这是一个不错的在线说明。下面，我包括用于计算此测试的R代码。

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))

— 圣甲虫
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