测量2D正方形中点分布的均匀性

我有一个2D正方形，里面有一组点，例如1000点。我需要一种方法来查看正方形内的点的分布是否散布（或或多或少均匀分布），或者它们倾向于在正方形内的某个点聚集在一起。

我需要一种数学/统计（非编程）方法来确定这一点。我在Google上搜索，发现了诸如拟合优度，Kolmogorov等之类的东西，只是想知道是否还有其他方法可以实现这一目标。需要这个用于课堂论文。

输入：2D正方形和1000点。输出：是/否（是=均匀分布，否=在某些地方聚集在一起）。

我认为@John进行卡方检验的想法是一种方法。

您可能希望在2-d上安装补丁，但是您想使用1路卡方检验来测试它们；也就是说，单元格的期望值为，其中N是单元格的数量。$\frac{1000}{N}$

但是，不同数量的单元格可能会给出不同的结论。

另一种可能性是计算点之间的平均距离，然后将其与该平均值的模拟结果进行比较。这避免了任意数量的单元的问题。

编辑（有关平均距离的更多信息）

对于1000个点，点之间存在成对的距离。这些都可以计算出来（例如，使用欧几里得距离）。这些距离可以平均。$\frac{1000*999}{2}$

然后，您可以生成N个（大量）1000个点的集合，这些点是均匀分布的。这N个集合中的每一个也具有点之间的平均距离。

将实际点的结果与模拟点进行比较，以获取p值或仅查看其落在何处。

另一种可能性是卡方检验。将正方形划分为大小相等的非重叠面片，并在均匀性假设下将落入面片的点的计数与其预期计数进行比较（如果面片的大小均相等，则面片的期望为total_points / total_patches） ，然后应用卡方检验。对于1000点，9个补丁就足够了，但是您可能希望根据数据的外观使用更多的粒度。

为什么不使用Kolmogorov-Smirnov检验？那就是我要做的，特别是考虑到您的样本量足够大以弥补功效不足。

或者，您可以进行一些模拟。它并不严格，但是它提供了一些有关数据是否均匀分布的证据。

@whuber KS的二维扩展是众所周知的（请参阅此处）。在这种情况下，我们正在研究是否可以从二维联合均匀分布中绘制这1000个绘制（坐标（x，y））-至少这就是我读到的“均匀分布”的方式。@John我可能笨拙地表达了自己（我的母语不是数学也不是英语）。我的意思是，可以使用诸如KS之类的测试来计算确切的p值，而在进行模拟时，p值（或任何您称呼的等效值）只会渐近趋向。