外推v。内插

外推法和内插法有什么区别，使用这些术语的最精确方法是什么？

例如，我在论文中看到了一个使用插值的语句：

“该过程在bin点之间插入估计函数的形状”

同时使用外推法和内插法的句子例如：

在上一步中，我们使用内核方法将内插函数外推到左侧和右侧的温度尾部。

有人可以提供一种清晰易用的方法来区分它们，并通过示例指导如何正确使用这些术语吗？

为此添加一个直观的解释：让我们考虑您打算建模的几点。

它们看起来可以很好地用直线描述，因此您可以对它们进行线性回归：

该回归线使您既可以插值（在数据点之间生成期望值）又可以进行插值（生成数据点范围之外的期望值）。我已经用红色突出显示了外推法，并用蓝色突出了了最大的内插区。需要明确的是，即使是点之间的微小区域也都可以插值，但是我仅在此处重点说明大区域。

为什么外推通常更受关注？因为通常您对数据范围之外的关系的形状不太确定。考虑一下当您收集更多数据点（空心圆）时可能发生的情况：

事实证明，您的假设关系毕竟无法很好地抓住这种关系。外推区域中的预测相去甚远。即使您猜到了可以正确描述非线性关系的精确函数，您的数据也没有延伸到足够大的范围以至于无法很好地捕获非线性，因此您可能还差得很远。请注意，这不仅是线性回归的问题，也是所有关系的问题-这就是为什么将外推视为危险的原因。

插值区域中的预测也是不正确的，因为拟合中缺乏非线性，但其预测误差要低得多。无法保证您的点之间（即插值区域）之间不会存在意外关系，但通常可能性较小。

我要补充一点，外推法并不总是一个糟糕的主意-如果您在数据范围之外进行一小部分外推，则可能不会很错（尽管有可能！）。没有良好的科学模型的古代人，如果预测第二天和之后的第二天太阳会再次升起（尽管距离未来很远，甚至会失败），也不会犯错。

$_2$（感谢@JMisnotastatistician提醒我这一点）。

根据评论进行编辑：无论是内插还是外推，始终最好有一些理论来建立期望。如果必须进行无需理论的建模，则插值的风险通常要小于外推的风险。就是说，随着数据点之间的距离幅度的增加，插值也变得越来越充满风险。

本质上，插值是数据支持内或现有已知数据点之间的操作；外推法是超越了数据支持。否则，标准是：缺失值在哪里？

区别的原因之一是，从统计学上讲，如果不切实际，通常很难做得好，甚至是危险的。并非总是如此：例如，河流洪水可能淹没了测量流量甚至水位（垂直水位）的手段，从而在测量记录中造成了漏洞。在那些情况下，放电或级的内插也很困难，并且在数据支持内也无济于事。

从长远来看，质变通常会取代质变。大约在1900年，人们非常担心马拉交通的增长会淹没大部分排泄物的城市。排泄指数已由内燃机及其不同的指数取代。

趋势是趋势是趋势，
但问题是，它会弯曲吗？
它会
通过某种不可预见的力量改变其进程
并过早地结束吗？

-亚历山大·凯恩克罗斯

Cairncross，A.1969。经济预测。经济杂志，79：797-812。doi：10.2307 / 2229792（引用第797页）

TL; DR版本：

• 国米 polation采用现有的数据点之间。
• 除了它们之外，还会发生额外的定位。

助记符：在插值=> 中。

FWIW：前缀之间跨手段，并超越预算外手段。想想也是的跨州公路各国之间，或去额外 terrestrials从超出了我们的星球。

例：

研究：想对6-15岁女孩的年龄高度进行简单的线性回归分析。样本数量为100，年龄由（测量日期-出生日期）/365.25计算得出。

收集数据后，对模型进行拟合并获得截距b0和斜率b1的估计。这意味着我们有E（height | age）= b0 + b1 * age。

当您想要13岁的平均身高时，您会发现在100个女孩的样本中没有13岁的女孩，其中一个是12.83岁，一个是13.24。

现在，将age = 13插入公式E（height | age）= b0 + b1 * age。之所以称为插值法，是因为13岁的数据被用于拟合模型的数据范围所覆盖。

如果您想获得30岁的平均身高并使用该公式，则称为外推法，因为30岁不在您的数据覆盖的年龄范围内。

如果模型具有多个协变量，则需要小心，因为很难绘制数据覆盖的边界。

在统计中，我们不主张外推。