易失性蒙蒂的蒙蒂霍尔问题

蒙蒂非常了解门后面是否有山羊（或者是空的）。这一事实允许玩家通过将“猜测”切换到另一扇门来使成功率随时间翻倍。如果蒙蒂的知识还不够完善怎么办？如果有时奖品确实和山羊同在一个门口，该怎么办？但是直到选择并打开门后您才能看到它？当蒙蒂的准确率低于100％时，玩家可以帮助我了解如何计算IF以及提高多少？例如：如果蒙蒂错了-平均50％的时间呢？玩家仍然可以从切换他的猜测/门中受益吗？我想如果Monty获胜的可能性不超过33.3％，那么奖品就不会落在门后，那么玩家最好的选择就是不要切换他的门选择。您能否为我提供一种方法，通过插入不同的蒙提正确概率（关于奖品不在门后）来计算转换的潜在利益？我除了高中数学外没有其他东西，今年69岁，所以请保持谦虚。

---

感谢您提供的见解和公式。如果“ Fallible Monty”在预测没有奖品/汽车的情况下准确率只有66％，那么从您最初选择的车门切换为零收益是...。因为默认值为33％奖品的基本费率位于任何门后。但是，有人认为，如果蒙蒂在预测没有奖品的情况下胜过66％，那么切换会产生更大的效用。我将尝试将这种推理应用于“专家”做出“专家预测”的游戏，即三个大致相同的选项之一将是正确的。我对专家的正确性几乎没有信心，我可以肯定他的“命中率”将小于33％-更像是15％。我的结论是，当“同样的选择，因为我，我可能是错的肯定，而应换另两个中的一个！;-)

让我们从常规的Monty Hall问题开始。三扇门，其中一扇是汽车。另外两个后面有山羊。您选择1号门，Monty打开2号门，向您显示后面有一只山羊。您是否应该将猜测切换到3号门？（请注意，此处用于指代每个门的数字并不重要。我们可以选择任何顺序，并且问题是相同的，因此为了简化起见，我们可以使用此数字。）

正如您已经知道的那样，答案当然是肯定的，但是让我们看一下计算以了解它们以后如何变化。令为汽车车门的索引，而代表蒙蒂透露2号门有山羊的事件。我们需要计算。如果此值大于，则需要将我们的猜测切换到该门（因为我们只有两个剩余选项）。该概率由下式给出： （这只是应用Bayes规则，且上有一个先验先平。）等于1：如果汽车在3号门后面，那么Monty别无选择，只能打开门号2就像他一样。$C$$M$$p(C=3|M)$$1/2$

$$p(C=3|M)=\frac{p(M|C=3)}{p(M|C=1)+p(M|C=2)+p(M|C=3)}$$ $C$$p(M|C=3)$$p(M|C=1)$1/2p（中号|C=2）p（C=3|M等于：如果汽车在1号门后面，则Monty可以选择打开其余2个或3个门中的一个等于0，因为Monty从未打开过他要打开的门知道有车。填写这些数字，我们得到： 这是我们熟悉的结果。$1/2$$p(M|C=2)$ $$p(C=3|M)=\frac{1}{0.5+0+1}=\frac{2}{3}$$

现在，让我们考虑一下蒙蒂不完全了解哪扇车门的情况。因此，当他选择自己的门（我们将其继续称为2号门）时，他可能会不小心选择了装有汽车的那扇门，因为他认为门有一只山羊。设为Monty 认为拥有汽车的门，而让为他认为该汽车位于某个特定位置（取决于其实际位置的概率。我们假设这由确定其准确性的单个参数来描述，例如：。如果等于1，蒙蒂永远是对的。如果$C'$ p （ç ' | C ^ ）q p （C ^ ' = X | C ^ = X ）= q = 1 - p （ç ' ≠ X | C ^ = X ）q q q 1 / 3$p(C'|C)$$q$$p(C'=x|C=x) = q = 1-p(C'\neq x|C=x)$$q$$q$为0，则Monty总是错误的（仍然有用）。如果为，则Monty的信息不会比随机猜测更好。$q$$1/3$

这意味着我们现在有：

$$p(M|C=3) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=3)$$ $$= p(M|C'=1)p(C'=1|C=3) + p(M|C'=2)p(C'=2|C=3) + p(M|C'=3)p(C'=3|C=3)$$ $$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(1-q) + 0\times \frac{1}{2}(1-q) + 1 \times q$$ $$= \frac{1}{4} - \frac{q}{4} + q = \frac{3}{4}q+\frac{1}{4}$$

也就是说，如果汽车确实在3号门的后面，那么可能会出现三种可能性：（1）Monty认为它在1号后面，（2）Monty认为2或（3）Monty认为3号。最后一种选择是概率为（多久正确一次），其他两个人在他们之间将错误的概率分开。那么，在每种情况下，像他那样，他会选择指向2号门的概率是多少？如果他认为汽车落后于1，那么概率是1比2，因为他可以选择2或3。如果他认为汽车落后于2，他将永远不会选择指向2。如果他认为汽车落后于3。 ，他总是会选择2。$q$$(1-q)$

我们可以类似地计算出剩余概率：

$$p(M|C=1) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=1)$$ $$=\frac{1}{2}\times q + 1\times \frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{q}{2}+\frac{1}{2}-\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$$

$$p(M|C=2) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=2)$$ $$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(1-q) + 1 \times\frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q$$

填充全部内容，我们得到： 作为健全性检查，当，我们可以看到我们得到了原始答案。

$$p(C=3|M)=\frac{\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q+\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}$$ $$=\frac{0.75q+0.25}{1.5}$$ $q=1$$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$

那么，我们什么时候切换？为了简单起见，我假设不允许我们切换到Monty指向的门。而且事实上，只要Monty至少一定程度上是正确的（比随机猜测更重要），他所指的门总是比其他人拥有汽车的可能性小，因此这不是一个可行的选择反正对我们来说。因此，我们只需要考虑1号门和3号门的概率。但是，以前汽车不可能在2号门后面，此选项现在具有非零概率，因此不再需要切换当，相反，当（过去是同一件事）时，我们应该进行切换。该概率由$p(C=3|M)>0.5$$p(C=3|M)>p(C=1|M)$$p(C=1|M)=\frac{0.5}{1.5}=\frac{1}{3}$，与原始的Monty Hall问题相同。（这是有道理的，因为Monty永远不会指向门1，无论门后面是什么，因此他都无法提供有关该门的信息。相反，当他的准确度降至100％以下时，结果是有些概率“泄漏”了门。 2实际上拥有汽车。）因此，我们需要找到，使得： $q$$p(C=3|M) > \frac{1}{3}$

$$\frac{0.75q+0.25}{1.5}>\frac{1}{3}$$ $$0.75q+0.25 > 0.5$$ $$0.75q > 0.25$$ $$q > \frac{1}{3}$$ 因此，基本上，这是一个漫长的发现过程，只要蒙蒂对汽车的真实位置的了解胜于随机猜测，就应该打开车门（考虑到它，这实际上是显而易见的） ）。我们还可以根据蒙蒂的准确度来计算切换时获胜的可能性，其计算公式如下： （其中，当，给出的答案为2，与我们通过在最初的Monty Hall问题中切换门来使获胜的机会加倍。） $$\frac{p(C=3|M)}{p(C=1|M)}$$ $$=\frac{\frac{0.75q+0.25}{1.5}}{\frac{1}{3}}=1.5q+0.5$$ $q=1$

编辑：人们在询问允许我们切换到Monty指向的门的场景，当，即Monty是（某种程度上）可靠的“骗子” 时，这变得很有优势。在最极端的情况下，当，这意味着Monty认为确实有门确实有山羊。但是请注意，其余两扇门仍然可以是汽车或山羊。$q<\frac{1}{3}$$q=0$

切换到门2的好处如下： 如果，即，那么它仅大于1（因此值得切换到该门）转折点已经确定。有趣的是，与原来的Monty Hall问题（当）的获胜几率翻倍相比，当时切换到2号门的最大可能收益仅为1.5 。

$$\frac{p(C=2|M)}{p(C=1|M)} = \frac{ \frac{0.75 - 0.75q}{1.5} } { \frac{1}{3} } = 1.5-1.5q$$ $1.5q<0.5$$q<\frac{1}{3}$$q=0$$q=1$

通过组合这两种切换策略可以得出一般的解决方案：当，您总是切换到3号门；否则，请切换至门2。 $q>\frac{1}{3}$

这应该是问题的一个相当简单的变化（尽管我注意到您的数学背景有限，所以我认为这是相对的）。我建议您首先尝试确定解决方案的条件，以 Monte是否正确无误还是完全错误为准。第一种情况只是普通的蒙特霍尔问题，因此那里不需要做任何工作。在第二种情况下，您会将他选择的门视为包括奖品的门在所有门中都是随机的（即，他可能仍然选择没有奖品的门，但这现在是随机的）。如果您可以计算出每种情况下的获胜概率，则可以使用总概率定律 确定在蒙特具有某种特定级别的易失性（由我们是绝对可靠还是完全易犯的概率指定）的情况下的相关获胜概率。

基于对Ben答案的评论，我将对Monty Hall的这种变体提供两种不同的解释，与Ruben van Bergen的不同。

我将第一个称为Liar Monty，第二个称为Unreliable Monty。在这两个版本中，问题均按如下方式进行：

（0）有三扇门，其中一扇是汽车，另一扇是山羊，后面是随机分布的门。

（1）参赛者随机选择一扇门。

（2）蒙蒂（Monty）挑起与参赛者的门不同的门，并声称后面有山羊。

（3）向参赛者提供切换到未挑起的第三扇门的问题，问题是“参赛者应何时切换以最大化在门后找到汽车的可能性？”

在Liar Monty中，在步骤（2）中，如果参赛者选择了包含山羊的门，则Monty会以某种预定义的概率选择包含汽车的门（即，在0到100％之间，他会撒谎山羊在某些门后面。请注意，在此变体中，如果参赛者在步骤（1）中选择了汽车，蒙蒂就不会选择装有汽车的门（即不能撒谎）。

在“不可靠的蒙蒂”中，存在一个预先确定的可能性，即步骤（2）中蒙蒂选择的门包含一辆汽车。我从您对Ben的回答的评论中得知，这是您感兴趣的场景，并且我的两个版本都与Ruben van Bergen的版本不同。请注意，不可靠的蒙蒂与说谎者蒙蒂并不相同；稍后我们将严格区分这两种情况。但想一想，在这种情况下，蒙蒂的大门永远不能包含汽车超过的时间，因为参赛者有选择车的概率的时间。$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$

为了回答这个问题，我们将不得不使用一些方程式。我将尝试说出我的答案，以便可以访问。我希望不要混淆的两件事是符号的代数操作和条件概率。对于前者，我们将使用符号来表示以下内容：

$$\begin{split} S &= \text{The car is behind the door the contestant can switch to.}\\ \bar{S} &= \text{The car is not behind the door the contestant can switch to.}\\ M &= \text{The car is behind the door Monty chose.}\\ \bar{M} &= \text{The car is not behind the door Monty chose.}\\ C &= \text{The car is behind the door the contestant chose in step (1).}\\ \bar{C} &= \text{The car is not behind the door the contestant chose in step (1).} \end{split}$$

我们使用表示“的概率”，因此，总的来说，类似意味着汽车不在Monty选择的门后面。（即，无论您在哪里看到涉及符号的表达式，都应将其替换为“英语”等价物。）$\Pr(*)$$*$$\Pr(\bar{M})$

我们还需要对条件概率有一些基本的了解，如果您了解其他相关事件，则大概是某件事发生的概率。此概率将在此处由等表达式表示。竖线可以认为是“如果您知道”的表达方式，因此可以理解为“参赛者可以切换到拥有车门的概率，如果您知道汽车不在Monty的门后面。在最初的Monty Hall问题中，，大于，它对应于Monty没有提供任何信息的情况。$\Pr(S|\bar{M})$$|$$\Pr(S|\bar{M})$$\Pr(S|\bar{M}) = \frac{2}{3}$$\Pr(S) = \frac{1}{3}$

我现在将证明不可靠的蒙蒂等同于骗子蒙蒂。在骗子蒙蒂中，我们得到了数量，这是蒙蒂知道参赛者未选择汽车的情况下蒙蒂躺在他门上的概率。在不可靠的蒙蒂中，我们得到了的数量，即蒙蒂躺在他的门上的概率。使用条件概率的定义，然后重新排列，我们得到：$\Pr(M|\bar{C})$$\Pr(M)$PR （中号 和  ˉ Ç $\Pr(M \text{ and } \bar{C}) = \Pr(\bar{C} | M) \Pr(M) = \Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})$

$$\begin{split} \Pr(M) &= \frac{\Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})}{\Pr(\bar{C} | M)}\\ \frac{3}{2} \Pr(M) &= \Pr(M | \bar{C}), \end{split}$$ 由于导致，汽车出现概率为没有落后的选手的选择门和，这辆车是不是选手的选择门的后面，如果我们知道它的背后是蒙蒂的门的概率，是一个。$\Pr(\bar{C})$$\frac{2}{3}$$\Pr(\bar{C} | M)$

因此，我们显示了不可靠的蒙蒂（由以上等式的LHS表示）和骗子蒙蒂（由RHS表示）之间的联系。在极端不可靠的蒙蒂的极端情况下，蒙蒂选择了隐藏车门的车门，这相当于蒙蒂一直躺在骗子蒙蒂，如果参赛者本来是捡山羊的。$\frac{2}{3}$

显示了这一点之后，我现在将提供足够的信息来回答蒙蒂·霍尔问题的骗子版本。我们要计算。使用总概率定律：$\Pr(S)$

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(S|C)\Pr(C) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M)\Pr(\bar{C} \text{ and } M) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M})\Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M}) \end{split}$$ 因为 且（说服自己！）。$\Pr(S|C) = \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M) = 0$$\Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M}) = 1$

继续：

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{M} | \bar{C}) \Pr(\bar{C}) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})) \end{split}$$

因此，您会看到，当Monty总是撒谎（aka）时，如果您始终切换，则获胜的机会为零，而如果他从不撒谎，则汽车落后的几率您可以切换到的门是。$\Pr(M | \bar{C})) = 1$$\Pr(S)$$\frac{2}{3}$

由此，您可以为骗子和不可靠的蒙蒂制定最佳策略。

附录1

在回应评论时（强调我的）：

“我在@alex的评论中添加了更多详细信息-Monty从来没有敌对也不会屈服，只是犯错，因为有时他可能由于任何原因而犯错，并且从不开门。研究表明，Monty犯了大约33.3％的错误时间，然后汽车实际上就在那儿。那是正确率的后验概率，正确率是66.6％，蒙蒂从未选择您的车门，您也不会选择他的车门。这些假设会改变什么吗？”

据我了解，我的答案开始时引入了不可靠的蒙蒂霍尔问题。

因此，如果蒙蒂的门上装有时间的汽车，那么当您切换到最后一个未捡起的门时，我们就有获胜的几率：$\frac{1}{3}$

$$\begin{split} \Pr(S) &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})\\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\Pr(M) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{split}$$

因此，切换到保留原来的门还是切换到Monty选择的门（符合您的直觉）之间没有区别。

出于某种原因，主持人决定删除我对自己问题的答案，理由是该答案包含“讨论”。我真的看不出我如何能解释什么是最佳答案，而无需讨论使它对我有用的方法以及如何将其应用于实践。

我感谢以前的答案中提供的见解和公式。这似乎是IF “容易犯错的蒙蒂”在预测没有奖励/汽车只有66％的准确THEN 有ZERO利于从原来的门的开关选择....因为他的33％的错误率是默认奖品的基本费率位于任何门后。但是，有人认为，IF Monty在预测没有奖品的情况下会胜过66％，然后切换会产生更大的效用。