Var（X）是已知的，如何计算Var（1 / X）？

如果我只有$\mathrm{Var}(X)$，如何计算$\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$？

我没有有关分布的任何信息$X$，因此无法使用变换或使用的概率分布的任何其他方法$X$。

是不可能的。

考虑随机变量序列$X_n$，其中

$$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$$

然后：

$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$$

但是接近零，因为n达到无穷大：$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$$n$

$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$$

本例使用的事实，是不变下翻译X，但V 一- [R （$\Var(X)$$X$不是。$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

但是，即使我们假设，我们也无法计算V a r （$\mathrm{E}(X)=0$：让$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

$$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

和

$$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$$

然后，当n达到无穷大时，接近1 ，但是V a r （$\Var(X_n)$$n$对于所有n。$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$$n$

您可以使用泰勒级数来获得变换后的随机变量的低阶矩的近似值。如果在均值周围（特定意义上）相当“紧密”分布，则近似值可能会很好。

所以举个例子

$$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$$

所以

$$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$$

通常只有第一学期

$$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$$

在这种情况下（假设我没有记错），，无功[$g(X)=\frac{1}{X}$。$\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

维基百科：随机变量函数的泰勒展开式

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一些例子来说明这一点。我将在R中生成两个（伽玛分布的）样本，一个样本的均值分布“不太紧密”，而另一个样本则更加紧密。

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

近似建议的方差应接近（1 / 10 ）4 × 10 = $1/a$$(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

代数计算具有实际总体方差是$1/648 \approx 0.00154$

现在为更紧密的一个：

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

$1/a$$(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

$\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$