Var(X)是已知的,如何计算Var(1 / X)?


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如果我只有Var(X),如何计算Var(1X)

我没有有关分布的任何信息X,因此无法使用变换或使用的概率分布的任何其他方法X


我认为可能对您有帮助。
Christoph_J

Answers:


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是不可能的。

考虑随机变量序列Xn,其中

P(Xn=n1)=P(Xn=n+1)=0.5

然后:

Var(Xn)=1for all n

但是接近零,因为n达到无穷大:Var(1Xn)n

Var(1Xn)=(0.5(1n+11n1))2

本例使用的事实,是不变下翻译X,但V - [R 1Var(X)X不是。Var(1X)

但是,即使我们假设,我们也无法计算V a r 1E(X)=0:让Var(1X)

P(Xn=1)=P(Xn=1)=0.5(11n)

P(Xn=0)=1nfor n>0

然后,当n达到无穷大时,接近1 ,但是V a r 1Var(Xn)n对于所有nVar(1Xn)=n


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您可以使用泰勒级数来获得变换后的随机变量的低阶矩的近似值。如果在均值周围(特定意义上)相当“紧密”分布,则近似值可能会很好。

所以举个例子

g(X)=g(μ)+(Xμ)g(μ)+(Xμ)22g(μ)+

所以

Var[g(X)]=Var[g(μ)+(Xμ)g(μ)+(Xμ)22g(μ)+]=Var[(Xμ)g(μ)+(Xμ)22g(μ)+]=g(μ)2Var[(Xμ)]+2g(μ)Cov[(Xμ),(Xμ)22g(μ)+]+Var[(Xμ)22g(μ)+]

通常只有第一学期

Var[g(X)]g(μ)2Var(X)

在这种情况下(假设我没有记错),无功[1g(X)=1XVar[1X]1μ4Var(X)

维基百科:随机变量函数的泰勒展开式

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一些例子来说明这一点。我将在R中生成两个(伽玛分布的)样本,一个样本的均值分布“不太紧密”,而另一个样本则更加紧密。

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

近似建议的方差应接近1 / 10 4 × 10 = 0.0011/a(1/10)4×10=0.001

 var(1/a)
[1] 0.00147171

代数计算具有实际总体方差是1/6480.00154

现在为更紧密的一个:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

1/a(1/10)4×1=0.0001

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

102992×980.000104


1
1/XXff(0)0[ϵ,ϵ]

R(x,μ)=(x+μ)(xμ)2xμ,
x=0

α>1αα=10α=100

这似乎在正确的方向,的倒数移位,而不是一个倒数标准正态分布正态分布:en.wikipedia.org/wiki/...
菲利普G. Nievinski
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