均匀分布的数字之间的差异是否均匀分布？

我们多次滚动6面模具。

计算一卷与其前一卷之间的差异（绝对值），期望差异是否均匀分布？

为了说明10卷：

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

这些diff值会均匀分布吗？

不，它不统一

您可以计算出$36$绝对差异的可能性

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

给出了绝对差的概率分布

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

仅使用有关概率和实数的最基本公理，就可以证明一种更强有力的陈述：

任何两个独立的，均匀分布的非恒定随机值$X-Y$ 永远不会具有离散的均匀分布。

（连续变量的类似陈述已在Uniform PDF中证明了两个rv的差。）

这个想法是，$X-Y$为极值的机会必须小于$X-Y$为零的机会，因为只有一种方法（例如）使$X-Y$最大化，而有许多方法可以使差为零。 ，因为$X$和$Y$具有相同的分布，因此可以彼此相等。这是详细信息。

首先观察到，假设的两个变量$X$和$Y$只能以有限的概率获得$n$个具有正概率的值，因为将至少存在$n$不同的差异，并且均匀分布将它们分配为均等的概率。如果$n$是无限的，那么具有正等概率的可能差异的数目也将是无限的，因此它们的机会之和将是无限的，这是不可能的。

其次，由于差异的数量是有限的，因此差异最大。最大差异只能减去的最小的值时可以实现$Y$ --let称之为$m$，并假设它具有概率$q = \Pr(Y=m)$ --from的最大值$X$ --let的呼叫的一个$M$与$p = \Pr(X=M).$ 因为$X$和$Y$是独立的，所以发生这种差异的机会就是这些机会的乘积，

最后，由于$X$和$Y$具有相同的分布，因此有很多方法可以使它们的差产生值$0.$ 在这些方法中，有$X=Y=m$和$X=Y=M.$ 由于此分布是非恒定的，因此$m$与$M.$不同。这表明这两种情况都是不相交的事件，因此，他们必须贡献至少量$p^2 + q^2$的机会，$X-Y$为零；那是，

由于数字的方块不在负，$0 \le (p-q)^2,$从那里我们从推断$(*)$的是

表示$X-Y$的分布不均匀，即QED。

编辑以回应评论

绝对差异的相似分析$|X-Y|$注意到，因为$X$和$Y$具有相同的分布，$m=-M.$这要求我们研究$\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$相同的代数技术产生几乎相同的结果，但是有可能$2pq=2pq+(p-q)^2$和$2pq+p^2+q^2=1.$即方程系统具有唯一解$p=q=1/2$对应于一个公平的硬币（一个“双面模”）。除此例外之外，绝对差的结果与差的结果相同，并且由于已经给出的相同的基本原因：即，当存在两个以上不同的差时，两个iid随机变量的绝对差不能均匀分布很有可能。

（编辑结束）

让我们将此结果应用于这个问题，该问题询问一些更复杂的问题。

模型中的管芯的每一个独立辊（这可能是一个不公平的与随机变量模）$X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ 在这些观察到的差异$n$辊是数字$\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ 我们可能想知道这些$n-1$个数是如何均匀分布的。这的确是一个关于统计预期的问题：什么是预期数量$\Delta X_i$例如等于零？什么是预期数量$\Delta X_i$等于$-1$？ 等等

这个问题的问题的方面是，$\Delta X_i$是不独立的：例如，$\Delta X_1 = X_2-X_1$和$\Delta X_2 = X_3 - X_2$涉及相同的辊$X_2.$

但是，这并不是真正的困难。由于统计期望是添加剂和所有差异具有相同的分布，如果我们挑选任何可能的值$k$的差异，期望次数的差等于$k$的整个序列中$n$辊只是$n-1$倍的预期数在该过程的单个步骤中，乘积之差等于$k$。该单步的期望是$\Pr(\Delta X_i = k)$（对于任何$i$）。这些预期将是所有相同$k$（即统一）当且仅当它们是用于单个相同$\Delta X_i.$ 但是，我们已经看到，没有$\Delta X_i$有一个均匀分布，即使在芯片可能有偏差。 因此，即使在期望频率的这种较弱的意义上，辊的差异也不均匀。

从直觉上讲，只有在所有随机事件的可能性均相同的情况下，随机事件才能均匀分布。

对于所讨论的随机事件是否是如此-两个骰子掷骰之间的绝对差？

在这种情况下，只需看极端即可—这种差异可能取最大和最小的值是多少？

显然0是最小的（我们正在研究绝对差异，并且掷骰子可以相同），而5是最大的（6vs 1）。

我们可以通过显示事件0发生的可能性更大（或更少），从而表明事件是不一致的5。

乍一看，只有5种发生的方式是两种-如果第一个骰子是6个，第二个骰子是1个，或者 反之亦然。0可以通过几种方式发生？

如亨利所言，均匀分布的差异不是均匀分布的。

为了用模拟数据说明这一点，我们可以使用一个非常简单的R脚本：

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

我们看到这确实产生了均匀的分布。现在，让我们看一下来自该分布的两个随机样本的绝对差的分布。

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

其他人已经进行了计算，我会给您一个对我来说似乎更直观的答案。您想研究rv（Z = X +（-Y））的两个uni之和，整体分布是（离散）卷积积：

$z$$k$$z$

通过信号处理，我们知道卷积积如何表现：

• 两个统一函数（两个矩形）的卷积积将给出一个三角形。维基百科对连续功能进行了说明：

• $z$$z$

• 一般而言，我们知道，通过卷积稳定的唯一函数是高斯家族的函数。即通过加法（或更一般而言，线性组合），只有高斯分布是稳定的。这也意味着在组合均匀分布时不会获得均匀分布。

至于为什么得到这些结果，答案在于这些函数的傅里叶分解。卷积积的傅里叶变换是每个函数的傅里叶变换的简单积。这给出了矩形函数和三角形函数的傅里叶系数之间的直接链接。

$x$$y$$|x-y| = k$$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$$k$

如您所见，每种颜色的点数是不一样的。因此，差异不是均匀分布的。

让 $D_t$ 表示差异和 $X$ 胶卷的价值，然后 $P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

所以功能 $P(D_t = d)$ 在...中不是恒定的 $d$。这意味着分布不均匀。