对数回归最大化的逻辑回归是否也必然使线性模型的AUC最大化？

给定的数据集与二元结果 $y\in\{0,1\}^n$ 和一些预测矩阵 $X\in\mathbb{R}^{n\times p}$ ，标准逻辑回归模型估计系数 $\beta_{MLE}$ 其最大化二项式可能性。当 $X$ 是满秩 $\beta_{MLE}$ 是独一无二的; 当不存在完美分离时，它是有限的。

这是否最大似然模型还最大化ROC AUC（又名 $c$ t-统计），还是存在一些系数估计 $\beta_{AUC} \neq \beta_{MLE}$ 这将获得较高的ROC AUC？如果确实MLE不一定使ROC AUC最大化，那么看这个问题的另一种方式是“是否存在似然最大化的替代方案，它将始终使对数回归的ROC AUC最大化？”

我假设模型在其他方面是相同的：我们不会在 $X$ 添加或删除预测变量，也不会更改模型规格，并且我假设似然最大化和AUC最大化模型正在使用相同的链接函数。

logistic maximum-likelihood auc

— Sycorax说恢复莫妮卡
source

当然

如果，例如，一些链接功能产生更好的贴合比Logit模型？除此之外，很好的问题，是否可以将数据生成过程假定为logit。

β_{AUC} \neq β_{MLE}

$\beta_{\text{AUC}} \neq \beta_{\text{MLE}}$

— Nutle

好问题，但考虑一下。ROC和AUC用于比较两个不同的模型，因此，如果任何模型的MLE估计的解决方案都是唯一的，则意味着仅当更改当前模型的规格并估计新的模型时，您才能获得不同的AUC。通过MLE建立模型。因此，在这一点上，另一个问题将是：除了适用于同一模型的简单MLE之外，还有其他“更好”的估算方法（最大化算法ecc）吗，这样我得出导致新“更好”的beta的系数的不同估算有较高的AUC？

— Fr1

@Nutle正好是一个不同的规范

— Fr1

@ Fr1是的，这就是独特的意思。我要在问题中暗示的是“如果MLE有其他替代方法可以实现更高的AUC，该怎么办？” 如果确实存在可以实现更高AUC的不同线性模型（除MLE之外的模型），那么这将很有趣。

— Sycorax说要

@Sycorax我们还假设什么？：）假设很重要，因为如果我们知道使用链接和变量的真正DGP，则MLE始终是最强大的无偏统计量。

— Nutle

这不是的情况下 $\beta_{MLE} = \beta_{AUC}$ 。

为了说明这一点，考虑到AUC可以写成

$P(\hat y_1 > \hat y_0 | y_1 = 1, y_0 = 0)$

$\beta_{MLE}$

$\beta_{AUC}$ $\beta$ $\beta_{MLE}$ $\beta_{AUC}$

编辑（将评论移入答案）

$x$ $x > 6$ $\beta$ $x$ $x$ $\beta_{MLE} < 0$

— 悬崖AB
source

（+1）啊！当然-由于它是关于排序的，因此我们可以任意更改截距，显然必须改变似然值，但是排序必须相同，因为特征系数都没有改变，因此AUC将保持不变。

— Sycorax说要

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

x

$x$

n

$n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

n

$n$

n

$n$

x

$x$

n

$n$