这纯粹是一个假设的问题。一个非常普遍的说法是永远都不是真的，这只是样本量的问题。$H_0$

让我们假设，对于实数，从正态分布的总体中得出的两个均值（）绝对没有可测量的差异（对于和估计为）。我们假设每组，我们使用检验。这意味着值为表明与绝对没有差异。这将表明测试统计量为。组之间的平均差为。在这种情况下，均值差的置信区间的极限是多少？他们会吗$\mu_1=\mu_2$$\mu=0$$\sigma$$=1$$N=16$$t$$p$$1.00000$$H_0$$0$$0$$95\%$$[0.0, 0.0]$？

我的问题的重点是，我们什么时候可以真正说出是真实的，即在这种情况下？还是在常客制框架中比较两种方法时可以真正说“没有区别”？$H_0$$\mu_1=\mu_2$

t检验的置信区间的格式为，其中和是样本均值，是给定处的临界值，而是均值差异的标准误差。如果，则。因此公式只是，限制仅为{，$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm t_{\text{crit}, \alpha}s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}$$\bar{x}_1$$\bar{x}_2$$t_{\text{crit}, \alpha}$$t$$\alpha$$s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}$$p=1.0$$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 =0$$\pm t_{\text{crit}, \alpha}s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}$$-t_{\text{crit}, \alpha}s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}$$t_{\text{crit}, \alpha}s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}$ }。

我不确定您为什么会认为限制为临界值不为零，平均差的标准误差也不为零。$\{0,0\}.$$t$

非常懒惰，使用R可以用数字方式解决问题，而不是手动进行计算：

定义一个函数，该函数将给出正态分布值，其均值（几乎！）正好为零，SD为正好 1：

rn2 <- function(n) {r <- rnorm(n); c(scale(r)) }

运行t检验：

t.test(rn2(16),rn2(16))

    Welch Two Sample t-test

data:  rn2(16) and rn2(16)
t = 1.7173e-17, df = 30, p-value = 1
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.7220524  0.7220524
sample estimates:
   mean of x    mean of y 
6.938894e-18 8.673617e-19 

由于浮点不精确，均值不完全为零。

更直接地，CI为$\pm$ sqrt(1/8)*qt(0.975,df=30)；每个均值的方差是1/16，因此合并方差是1/8。

CI可以有任何限制，但精确地以零为中心

对于两个样本的T检验（测试两个总体的均值之差），p值正好等于观察到的样本均值完全相等的情况。† （样本方差可以具有任何值。）要看到这一点，请注意，检验的p值函数为：$^\dagger$

$$p \equiv p(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbb{P} \Bigg( \Bigg| \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_Y/n_Y + S_Y/n_Y}} \Bigg| \geqslant \Bigg| \frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{s_Y/n_Y + s_Y/n_Y}} \Bigg| \Bigg).$$

因此，设置产生：$\bar{x}=\bar{y}$

$$p(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbb{P} \Bigg( \Bigg| \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_Y/n_Y + S_Y/n_Y}} \Bigg| \geqslant 0 \Bigg) = 1.$$

现在，假设您使用Welch-Satterwaite近似值形成标准（近似）置信区间。在这种情况下，假设（给出精确的p值为1）给出了置信区间：$\bar{x}=\bar{y}$

$$\text{CI}(1-\alpha) = \Bigg[ 0 \pm \sqrt{\frac{s_X}{n_X} + t_{DF, \alpha/2} \frac{s_Y}{n_Y}} \Bigg],$$

自由度由Welch-Satterwaite近似确定。根据问题中观察到的样本方差，置信区间可以是以零为中心的任何有限区间。也就是说，置信区间可以有任何限制，只要它正好位于零附近即可。$DF$

---

$^\dagger$当然，如果基础数据实际上来自连续分布，则此事件的发生概率为零，但我们假设它发生了。

对于发生可能性为零的事物，很难进行有力的哲学讨论。因此，我将向您展示一些与您的问题有关的示例。

如果您有两个来自同一分布的巨大独立样本，则两个样本仍将具有一定的可变性，合并的2样本t统计量将接近但不完全为 0，P值将分布为 那么95％的置信区间将非常短并以为中心$\mathsf{Unif}(0,1),$$0.$

一个这样的数据集和t检验的示例：

set.seed(902)
x1 = rnorm(10^5, 100, 15)  
x2 = rnorm(10^5, 100, 15)
t.test(x1, x2, var.eq=T)

        Two Sample t-test

data:  x1 and x2
t = -0.41372, df = 2e+05, p-value = 0.6791
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.1591659  0.1036827
sample estimates:
mean of x mean of y 
 99.96403  99.99177 

以下是10,000种此类情况的汇总结果。首先，P值的分布。

set.seed(2019)
pv = replicate(10^4, 
   t.test(rnorm(10^5,100,15),rnorm(10^5,100,15),var.eq=T)$p.val)
mean(pv)
[1] 0.5007066   # aprx 1/2
hist(pv, prob=T, col="skyblue2", main="Simulated P-values")
 curve(dunif(x), add=T, col="red", lwd=2, n=10001)

接下来的测试统计量：

set.seed(2019)  # same seed as above, so same 10^4 datasets
st = replicate(10^4, 
       t.test(rnorm(10^5,100,15),rnorm(10^5,100,15),var.eq=T)$stat)
mean(st)
[1] 0.002810332  # aprx 0
hist(st, prob=T, col="skyblue2", main="Simulated P-values")
 curve(dt(x, df=2e+05), add=T, col="red", lwd=2, n=10001)

对于CI的宽度，依此类推。

set.seed(2019)
w.ci = replicate(10^4, 
        diff(t.test(rnorm(10^5,100,15),
         rnorm(10^5,100,15),var.eq=T)$conf.int)) 
mean(w.ci)
[1] 0.2629603

在满足假设的情况下，用连续数据进行精确测试几乎不可能获得单位P值。如此之多，以至于明智的统计学家会在看到P值为1时思考可能出了什么问题。

例如，您可以给软件两个相同的大样本。编程将好像是两个独立的样本一样进行，并给出奇怪的结果。但是即使那样，CI也不会是0宽度。

set.seed(902)
x1 = rnorm(10^5, 100, 15)  
x2 = x1
t.test(x1, x2, var.eq=T)

        Two Sample t-test

data:  x1 and x2
t = 0, df = 2e+05, p-value = 1
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval: 
 -0.1316593  0.1316593
sample estimates:
mean of x mean of y 
 99.96403  99.96403 

简单的答案（对Noah的+1）将说明，均值差的置信区间可能仍为非零长度，因为它以与p值不同的方式取决于样本中观察到的变化。

但是，您可能仍然想知道为什么会这样。可以想象，高p值也意味着较小的置信区间，这并不奇怪。毕竟，它们都对应于接近零假设确认的事物。那么为什么这个想法不正确呢？

高p值与小的置信区间不同。

• p值通过表达观察给定偏差的可能性来指示特定观察的极端程度（在给定某些假设的情况下）。它是观察到的效应大小的表达相对于在实验的精度（一个大的观察到的效果的大小可能没有太大意义当实验是这样的“不准确的”，这些观察是不极端从统计的观点/概率点）。当观察1的p值，那么这个（仅）意味着观察到的零效果，因为概率来观察这样的结果为零或更大，等于1（但是，有这是不一样的是零效果）。

  旁注：为什么要使用p值？p值表示与预期效果大小（概率）相关的实际观察到的效果大小。这是相关的，因为由于数据/保存的共同波动，实验可能会通过纯偶然的机会设计出一些相关效果大小的观测值。要求观察/实验的p值低意味着实验具有较高的精确度-也就是说：观察到的效应大小是由于机会/波动（可能是由于真实效应）而较少/可能。

  $X\sim N (0,1)$$\mathbb {P}(X=0)=0$

• $\alpha$$\alpha$

  您应该注意，高p值（不一定）不是针对原假设的证明/支持/任何东西。高p值仅意味着对于给定的原假设而言，观察结果不是显着/极端的，但对于替代假设而言，情况也可能是如此（即，结果符合两个假设的“是/否”效应）。当数据没有携带太多信息（例如高噪声或小样本）时，通常会发生这种情况。

$p \approx 0.5$$p \sim U (0,1)$

$H_0$$\mu_1=\mu_2$

不，因为“缺乏证据并不意味着缺乏证据”。概率可以被认为是逻辑的扩展，具有更多的不确定性，因此可以想象一下，假设检验将返回二进制值：0（假）或1（真），而不是单位间隔上的实数。在这种情况下，适用逻辑的基本规则，如以下示例所示：

• 如果外面下雨，则可能是地面潮湿。
• 地面是湿的。
• 因此，外面下雨了。

地面很可能是湿的，因为下雨了。或可能是由于洒水装置，有人清洁排水沟，供水总管破裂等引起的。更多极端的例子可以在上面的链接中找到。

$\mu_1 - \mu_2 \to 0$

$p = 1$$\pm 0$$H_0$

没有什么可以阻止您使用标准的t或高斯公式来计算置信区间-所需的所有信息都在您的问题中给出。p = 1并不表示这有什么问题。注意p = 1并不能意味着你可以特别确保H0是真的。仍然存在随机变化，如果u0 = u1可以在H0下发生，则如果u0的真实值与真实u1略有不同，也会发生随机变化，因此，置信区间中的余量将不仅仅是相等。

一个非常普遍的说法是H0永远都不是真的，这只是样本量的问题。

知道自己在说什么，说话准确的人之间不存在。传统的假设检验永远不会得出结论：零为真，但是，是否为零与是否被认定为真是不同的。

这意味着p值为1.00000

对于两尾测试，是的。

表示与H0绝对没有差异。

$H_0$$H_0$$0$$H_0$$H_0$ 可以预见，这将被更合理地称为“差异”，而不是仅仅看到平均值与模式不匹配的单个样本。

在这种情况下，均值差的95％置信区间的极限是多少？

$f(\epsilon)$$\epsilon$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0}f(\epsilon)$

我的问题的主要要点是，何时可以真正说出H0为真，即在这种情况下μ1=μ2？

$1$$2$$3$$.5$$.1$，……”我们可以假设均值的任意小差异，这将与替代假设一致。并且，如果任意小差异，则给出均值的概率任意接近给出零的概率。替代假设不仅包含分布参数（例如均值）不同的可能性，而且还存在完全不同的分布。例如，替代假设包含“两个样本在均值上始终具有差异，是正好是1还是正好是0，每个概率为.5。结果与null一致，结果与之相比更加一致。