平均绝对偏差是否小于标准偏差？

我想用这种定义将一般情况下的平均绝对偏差与标准偏差进行比较：

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

其中。 $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

每个是否正确？ $MAD \le SD$ $\{x_i\}^n_1$

它的虚假为，becouse，对于每个。 $n=2$ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ $x, y \ge 0$

很容易证明：

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— 利斯贝斯
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Answers:

不，通常这是不正确的。

一种简单的观察方法是模拟。我通常会凑在一起一个无限循环，如果找到反例，该循环将停止。如果运行了很长时间，我会开始考虑该声明是否正确。在当前情况下，我的R代码如下所示：

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

它产生了这个反例：

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— 斯蒂芬·科拉萨（Stephan Kolassa）
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这是使用模拟的聪明方法！使我免于错误地回答由于詹森不等式而导致结果始终成立的问题……当用除以而不是时，这显然不适用

n - 1

$n-1$

n

$n$

— CloseToC

但是，我认为将与平均偏差与分母进行比较的答案可能会有用，因为它将为反例提供上下文。

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— Glen_b-恢复莫妮卡

这是一种更数学的方法。首先，很可能通过更改变量可以假设均值为零。当然，从找到反例的角度来看，这是可以接受的。因此，设置，对提议的不等式的平方进行平方，然后乘以（n-1）个与提议的不等式- $\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

这看起来很腥。（n-1）不足以弥补所有条款。特别是如果所有的绝对值都相同。我的第一个猜测是n = 4和。这导致。我认为对不平等感兴趣的人们都知道这种事情。 $|x_i| |x_j|$ $x_i$ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

— h
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对于所有偶数您都可以使用构造（每），并且因此可以所有不正确。

n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

— Sextus Empiricus

对于所有奇数您都可以使用我的构造（，，然后每隔交替加减。）。然后，您得到，可以通过乘以和平方，使其变为

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sextus Empiricus

但是对于所有可能的是不正确的。该条款当有足够数量的时，（其中个）可以由项弥补。

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

— Sextus Empiricus

@Martijn我只是说做一点代数为寻找反例指明了道路。我决不认为，并且我什至不给我以为不平等永远是假或真的印象。

— MEH

评论“（n-1）不足以弥补...”对我来说听起来有点困难。在某些情况下就足够了。

— Sextus Empiricus