一堆正态分布的随机变量中最大的是哪个？

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我有随机变量。具有正态分布，均值且方差。的 RVS通常与平均分布和方差。一切都是相互独立的。 $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

令表示是其中最大的事件，即。我想计算或估计。我正在寻找的表达式，作为的函数，或者是的合理估计或近似值。 $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

在我的应用程序中， $n$ 是固定的（ $n=61$ ），我想找到使的最小值，但我也对一般问题感到好奇。 $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
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多大

n

$n$ ？基于大样本理论应该有一些好的渐近表达式。

— ub

@whuber，谢谢！我编辑了一个问题：就我而言，

n = 61

$n=61$ 。即使

n = 61

$n=61$ 不足以计数为大，即使在

n

$n$ 大的情况下有良好的渐近估计，这也会很有趣。

— DW 2012年

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使用数值积分。

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— ub

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通信工程师以名称 -ary正交信令 的形式对这种概率的计算进行了广泛研究，其中模型是等能量的正当正交信号之一正在发送，而接收器试图通过检查个正交能量来确定哪个信号被发送。滤波器的输出与信号匹配。以发送信号的身份为条件，匹配滤波器的样本输出（有条件地）是独立的单位方差正常随机变量。与所发送信号匹配的滤波器的样本输出是随机变量，而所有其他滤波器的输出是 $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ 随机变量。

以为条件的正确决策（在当前情况下为事件）的条件为其中是标准的累积概率分布正态随机变量，因此无条件概率为其中 $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ 是标准法线密度函数。对于该积分的值，没有闭合形式的表达式，必须对其进行数值计算。工程师也对补充事件感兴趣-决策有误-但不喜欢将其计算为因为需要非常仔细地评估的积分，以达到许多有效数字的准确性，并且这种评估既困难又费时。取而代之的是，的积分可以通过零件进行积分以获得

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ 这个积分更容易用数字来评估，并且它的值作为的函数的图表和列表（尽管不幸的是，仅对于）在Lindsey和Simon，Prentice-Hall 1973，Dover 的《电信系统工程》的第5章中进行了绘制和制表。按下1991。或者，工程师使用并集约束或Bonferroni不等式其中是互补累积正态分布函数。

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

从结合的结合，我们看到，所需的值对在上面所界定，其结合具有值在。这比 @whuber通过数值积分获得的更精确的值稍大。 $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

更多的讨论和详细资料进制正交信号可以在页上找到。我的161-179 讲义对通信系统的一类 $M$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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4

正式答案：

iid个变量的最大值的概率分布（密度）为：其中是概率密度，是累积分布函数。 $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

从这个就可以计算出的概率比大于经由其他的 $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

您可能需要研究各种近似值，以便针对您的特定应用轻松处理此问题。

— 戴夫
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+1实际上，由于使得，所以双整数简化为单个积分与我的答案相同。

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— Dilip Sarwate 2012年