岭回归背景下的拉格朗日松弛

在“统计学习的要素”（第二版），p63中，作者给出了岭回归问题的以下两种表述：

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \left\{ \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \right\}$$

和

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 \text{, subject to } \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \leq t.$$

据称这两者是等效的，并且参数和之间存在一一对应的关系。$\lambda$$t$

似乎第一个公式是第二个的拉格朗日松弛。但是，我从未对拉格朗日松弛如何或为何起作用有直观的了解。

有没有简单的方法可以证明这两种说法确实等效？如果必须选择，我宁愿直觉胜于严谨。

谢谢。

可以使用信封定理最容易地显示对应关系。

$\lambda \cdot t$$\lambda$

$t$$t$$\beta$$\lambda \cdot t$

$t$

我假设这是Hastie等人的书信。在指。