在LM和GLM之间选择对数转换后的响应变量

我试图了解使用广义线性模型（GLM）与线性模型（LM）的原理。我在下面创建了一个示例数据集：

$$\log(y) = x + \varepsilon$$

该示例的误差不随y的大小而变化，因此我假设对数转换的y的线性模型是最好的。在下面的示例中，确实是这种情况（我认为）-因为LM在对数转换后的数据上的AIC最低。具有对数链接功能的Gamma分布GLM的AIC具有较低的平方和（SS），但是附加的自由度会导致AIC稍高。我惊讶于高斯分布AIC如此之高（即使SS是模型中最低的）。$\varepsilon$$y$

我希望就何时应该使用GLM模型获得一些建议-即我应该在LM模型拟合残差中寻找一些东西来告诉我另一种分布更合适吗？另外，应该如何选择合适的分销家庭。

在此先感谢您的帮助。

[编辑]：我现在调整了摘要统计信息，以便对数转换后的线性模型的SS与具有对数链接功能的GLM模型相当。现在显示统计图。

例

set.seed(1111)
n <- 1000
y <- rnorm(n, mean=0, sd=1)
y <- exp(y)
hist(y, n=20)
hist(log(y), n=20)

x <- log(y) - rnorm(n, mean=0, sd=1)
hist(x, n=20)

df  <- data.frame(y=y, x=x)
df2 <- data.frame(x=seq(from=min(df$x), to=max(df$x),,100))


#models
mod.name <- "LM"
assign(mod.name, lm(y ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2) ~ df2$x, col=2)

mod.name <- "LOG.LM"
assign(mod.name, lm(log(y) ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(exp(predict(get(mod.name), newdata=df2)) ~ df2$x, col=2)

mod.name <- "LOG.GAUSS.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=gaussian(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)

mod.name <- "LOG.GAMMA.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=Gamma(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)

#Results
model.names <- list("LM", "LOG.LM", "LOG.GAUSS.GLM", "LOG.GAMMA.GLM")

plot(y ~ x, df, log="y", pch=".", cex=3, col=8)
lines(predict(LM, newdata=df2) ~ df2$x, col=1, lwd=2)
lines(exp(predict(LOG.LM, newdata=df2)) ~ df2$x, col=2, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAUSS.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=3, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAMMA.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=4, lwd=2)
legend("topleft", legend=model.names, col=1:4, lwd=2, bty="n") 

res.AIC <- as.matrix(
    data.frame(
        LM=AIC(LM),
        LOG.LM=AIC(LOG.LM),
        LOG.GAUSS.GLM=AIC(LOG.GAUSS.GLM),
        LOG.GAMMA.GLM=AIC(LOG.GAMMA.GLM)
    )
)

res.SS <- as.matrix(
    data.frame(
        LM=sum((predict(LM)-y)^2),
        LOG.LM=sum((exp(predict(LOG.LM))-y)^2),
        LOG.GAUSS.GLM=sum((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2),
        LOG.GAMMA.GLM=sum((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2)
    )
)

res.RMS <- as.matrix(
    data.frame(
        LM=sqrt(mean((predict(LM)-y)^2)),
        LOG.LM=sqrt(mean((exp(predict(LOG.LM))-y)^2)),
        LOG.GAUSS.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2)),
        LOG.GAMMA.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2))
    )
)

png("stats.png", height=7, width=10, units="in", res=300)
#x11(height=7, width=10)
par(mar=c(10,5,2,1), mfcol=c(1,3), cex=1, ps=12)
barplot(res.AIC, main="AIC", las=2)
barplot(res.SS, main="SS", las=2)
barplot(res.RMS, main="RMS", las=2)
dev.off()

思考这个问题的努力。这是一个不完整的答案，但对于后续步骤有些帮助。

首先，由于分布和链接功能不同，基于似然性的AIC分数在不同的尺度上，因此无法比较。您的平方和和平均平方和是在原始比例下计算的，因此是在同一比例上，因此可以进行比较，尽管这是否是模型选择的良好标准是另一个问题（可能是，也可能不是） -在模型选择中搜索经过交叉验证的档案，以进行一些很好的讨论。

对于更笼统的问题，关注此问题的一个好方法是考虑LOG.LM（您的线性模型，其响应为log（y））之间的区别；和LOG.GAUSS.GLM，glm的响应为y，并具有日志链接功能。在第一种情况下，您要拟合的模型是：

$\log(y)=X\beta+\epsilon$

在glm（）情况下是：

$\log(y+\epsilon)=X\beta$

$\epsilon$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$E[\ln(Y|x)]$$\ln([E(Y|X])$

在我看来，关于分布族是一个关于方差及其与均值的关系的问题。例如，在一个高斯族中，我们有恒定的方差。在伽玛族中，方差是均值的二次函数。绘制标准化残差与拟合值的关系图，看看它们的状态。

R$\log(y) = x + \varepsilon$$x = \log(y) + \varepsilon$$x$$y$

ly = log(y)
REVERSE.REGRESSION = lm(x~ly)
summary(REVERSE.REGRESSION)
# Call:
# lm(formula = x ~ ly)
# 
# Residuals:
#      Min       1Q   Median       3Q      Max 
# -2.93996 -0.64547 -0.01351  0.63133  2.92991 
# 
# Coefficients:
#             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# (Intercept)  0.01563    0.03113   0.502    0.616    
# ly           1.01519    0.03138  32.350   <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# 
# Residual standard error: 0.984 on 998 degrees of freedom
# Multiple R-squared:  0.5119,    Adjusted R-squared:  0.5114 
# F-statistic:  1047 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

该模型的指标（如AIC）无法与您的模型进行比较。但是，我们知道这是基于数据生成过程的正确模型，并且请注意估计的系数恰好在目标上。

该选择基于您对变量的假设。

$$\frac{\sqrt{\mathrm{Var}(X_t} }{\mathrm{E}(X_t)} = \mathrm{constant}$$

伽玛分布基于

$$\frac{\mathrm{Var}(X_t) }{\mathrm{E}(X_t)} = \mathrm{constant}$$

---

对数变换基于以下假设：

$$\sqrt{\mathrm{Var}(X_t} = \mathrm{E}(X_t) \sigma$$

通过这种方式，

$$\begin{alignat}{2} X_t &= X_t\\ & = \mathrm{E}(X_t) \cdot \frac{X_t}{\mathrm{E}(X_t)} \\ & = \mathrm{E}(X_t) \cdot \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t) + \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)} \\ & = \mathrm{E}(X_t) \cdot (1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) \\ \end{alignat}$$

根据泰勒规则，

$$\log(1+x) \approx x$$

我们得到

$$\log(1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) = \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}$$

从而，

$$\begin{alignat}{2} X_t &= \mathrm{E}(X_t) \cdot (1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) \\ \log X_t &= \log \mathrm{E}(X_t) + \log (1 + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)}) \\ &= \log \mathrm{E}(X_t) + \frac{X_t - \mathrm{E}(X_t)}{\mathrm{E}(X_t)} \\ \mathrm{E}(\log X_t) & \approx \log \mathrm{E}(X_t) \end{alignat}$$

---

但是，伽玛分布基于以下假设：

$$Y \sim \Gamma(\alpha, \beta)$$

$$\begin{cases} E(y_i) = \alpha_i \cdot \beta_i \\ Var(y_i) = \alpha_i \cdot \beta_i^2 \\ \end{cases} \to \frac{Var(y_i)}{E(y_i)} = \beta_i$$