是否进行统计检验以比较两个大小为1和3的样本？

对于一个生态项目，我的实验室小组将醋添加到4个装有等量池塘水的水箱，1个无伊乐藻的对照（一种水生植物）和3个各含相同伊乐藻的处理液中。添加醋的目的是降低pH。假设是装有伊乐藻的水箱会更快地回到其正常pH值。确实是这样。我们每天测量每个水箱的pH值大约两个星期。最终所有的水箱都恢复到其自然pH值，但是对于装有伊乐藻的水箱，这花费的时间要短得多。

当我们告诉教授我们的实验设计时，他说没有可以对数据进行统计学检验以将对照与治疗进行比较的统计检验。那是因为对照没有重复项（我们只使用了一个对照槽），所以无法计算方差，因此无法比较对照和处理的样本均值。所以我的问题是，这是真的吗？我绝对明白他的意思。例如，如果您仅举一男一女的身高，就无法得出有关他们各自人口的结论。但是我们做了3种治疗，差异很小。假设控制中的方差相似是合理的吗？

更新：

感谢您的出色回答。我们从湿地中获得了更多的水和伊乐藻，并决定我们将再次使用较小的水箱进行实验，但是这次使用了5个对照和5种处理方法。我们将把它与原始数据结合起来，但是水箱的起始pH值足够不同，以至于认为新实验是从与原始实验相同的种群中采样似乎无效。

我们考虑添加不同数量的伊乐藻，并尝试将pH修复的速度（以直到pH恢复至其原始值所需的时间来衡量）与伊乐藻的数量相关联，但我们认为这是不必要的。我们的目的仅是表明伊乐藻具有积极的作用，而并非针对pH对不同数量的伊乐藻的确切反应建立某种预测模型。确定最佳的伊乐藻数量，但这可能只是可以存活的最大数量。由于增加大量社区时会发生各种复杂的变化，因此尝试对数据拟合回归曲线不会特别有意义。电极死亡，分解，新生物开始占主导地位，依此类推。

注意龚的问题；这很重要。我将假定治疗组中每个储罐的处理方法都是相同的。

如果您可以证明两组的方差相等（无论如何您通常会假设对两个样本进行t检验），则可以进行检验。无论该违反有多严重，您都无法检查该假设。

中所表达的关切这个回答一个相关的问题是更具相关性，您的情况，但有少，你可以做些什么。

[您要求假设方差相等是合理的。我们无法为您回答这个问题，您必须说服主题专家（例如，生态学家）是一个合理的假设。是否还有其他研究在治疗和对照下都测量了此类水平？在其他进行过类似测试（特别是t检验或方差分析 -我敢打赌，您可以找到更好的先例）的地方或做出类似的假设？您可以看到某种形式的一般推理吗？]

如果是处理的样本均值，而是对照的均值，且均来自具有方差正态分布，则 将具有均值和方差，无论之一是否为1。$\bar{x}$$\bar{y}$$\sigma^2$$\bar{x}-\bar{y}$$\mu_x - \mu_y$$\sigma^2 (1/n_x + 1/n_y)$$n$

所以当为1时$n_y$

（其中是根据处理得出的标准偏差）将在null下以（个自由度）。$s_x$$t$$n_x - 1$

您可能会注意到，使用（用于的最佳估计值，这就像将设置为1 的普通两样本t检验公式。$\sigma$$s_x$$s_p$$n_y$

编辑：

这是此测试的模拟功率曲线。零点处的样本量为10000，其他点为1000。如您所见，零点处的拒绝率是0.05，幂曲线虽然需要总体上的差异大，才能具有体面的功效，但正确的形状。也就是说，此测试可以完成预期的工作。

（结束编辑）

但是，由于样本量很小，因此这对分布假设会有些敏感。

如果您准备做出不同的假设，或者想测试其他人口数量的相等性，则仍然可以进行一些测试。

因此，一切都不会丢失...但是在可能的情况下，最好在两个组中至少进行一些复制。