二项式和泊松随机变量的总和

如果我们有两个独立的随机变量和X 2〜P ø 我小号（λ ），什么是的概率质量函数X 1 + X 2？$X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$$X_1 + X_2$

注意：这不是我的作业。

$p_{X_1+X_2}(k)$$0 \leq k < n$$k \geq n$$\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$$\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$$p_{X_1+X_2}(k)$$z^k$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$$

Dilip Sarwate 7年前曾表示不可能简化，尽管在评论中对此提出了挑战。但是，我认为有必要指出，即使不做任何简化，任何电子表格或编程语言中的计算也非常简单。

这是R中的实现：

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]