Answers:
线性模型写为 其中表示响应的向量,是固定效果参数的向量,是相应的设计矩阵,其列是解释变量的值,而是随机错误的向量。
众所周知,的估算是由(例如,参考维基百科的文章) 因此 [提醒:,对于某些随机向量和某些非随机矩阵 ]
这样 其中可以通过ANOVA表中的均方误差(MSE)获得。
R中的简单线性回归示例
#------generate one data set with epsilon ~ N(0, 0.25)------
seed <- 1152 #seed
n <- 100 #nb of observations
a <- 5 #intercept
b <- 2.7 #slope
set.seed(seed)
epsilon <- rnorm(n, mean=0, sd=sqrt(0.25))
x <- sample(x=c(0, 1), size=n, replace=TRUE)
y <- a + b * x + epsilon
#-----------------------------------------------------------
#------using lm------
mod <- lm(y ~ x)
#--------------------
#------using the explicit formulas------
X <- cbind(1, x)
betaHat <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y
var_betaHat <- anova(mod)[[3]][2] * solve(t(X) %*% X)
#---------------------------------------
#------comparison------
#estimate
> mod$coef
(Intercept) x
5.020261 2.755577
> c(betaHat[1], betaHat[2])
[1] 5.020261 2.755577
#standard error
> summary(mod)$coefficients[, 2]
(Intercept) x
0.06596021 0.09725302
> sqrt(diag(var_betaHat))
x
0.06596021 0.09725302
#----------------------
当只有一个解释变量时,模型简化为 和 这样 ,公式变得更加透明。例如,估计坡度的标准误差为
> num <- n * anova(mod)[[3]][2]
> denom <- n * sum(x^2) - sum(x)^2
> sqrt(num / denom)
[1] 0.09725302
lm.fit
/中使用的实际实现方式summary.lm
略有不同...
这些公式可以在统计的任何中间文本中找到,尤其是可以在Sheather(2009,第5章)中找到它们,并从中进行以下练习(第138页)。
以下R代码手动计算系数估计值及其标准误差
dfData <- as.data.frame(
read.csv("http://www.stat.tamu.edu/~sheather/book/docs/datasets/MichelinNY.csv",
header=T))
# using direct calculations
vY <- as.matrix(dfData[, -2])[, 5] # dependent variable
mX <- cbind(constant = 1, as.matrix(dfData[, -2])[, -5]) # design matrix
vBeta <- solve(t(mX)%*%mX, t(mX)%*%vY) # coefficient estimates
dSigmaSq <- sum((vY - mX%*%vBeta)^2)/(nrow(mX)-ncol(mX)) # estimate of sigma-squared
mVarCovar <- dSigmaSq*chol2inv(chol(t(mX)%*%mX)) # variance covariance matrix
vStdErr <- sqrt(diag(mVarCovar)) # coeff. est. standard errors
print(cbind(vBeta, vStdErr)) # output
产生输出
vStdErr
constant -57.6003854 9.2336793
InMichelin 1.9931416 2.6357441
Food 0.2006282 0.6682711
Decor 2.2048571 0.3929987
Service 3.0597698 0.5705031
与以下输出进行比较lm()
:
# using lm()
names(dfData)
summary(lm(Price ~ InMichelin + Food + Decor + Service, data = dfData))
产生输出:
Call:
lm(formula = Price ~ InMichelin + Food + Decor + Service, data = dfData)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-20.898 -5.835 -0.755 3.457 105.785
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -57.6004 9.2337 -6.238 3.84e-09 ***
InMichelin 1.9931 2.6357 0.756 0.451
Food 0.2006 0.6683 0.300 0.764
Decor 2.2049 0.3930 5.610 8.76e-08 ***
Service 3.0598 0.5705 5.363 2.84e-07 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 13.55 on 159 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6344, Adjusted R-squared: 0.6252
F-statistic: 68.98 on 4 and 159 DF, p-value: < 2.2e-16
solve()
功能不错。如果没有矩阵代数,这会更长一些。仅使用基本运算符就可以执行该特定行的简洁方法吗?
Ocram的部分答案是错误的。其实:
第一个答案的注释表明,需要更多解释系数方差:
谢谢,我忽略了该Beta版的帽子。上面的推导是。正确的结果是:
1.(要获得该方程,请将上的的一阶导数设置为零,以使最大化)
2.
3.
希望它会有所帮助。