在R中拟合t分布：缩放参数

我如何拟合t分布的参数，即与正态分布的“均值”和“标准偏差”相对应的参数。我假设它们被称为t分布的“均值”和“缩放/自由度”？

以下代码通常会导致“优化失败”错误。

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

我必须先缩放x还是转换成概率？如何做到最好？

fitdistr使用最大似然和优化技术来查找给定分布的参数。有时，尤其是对于t分布，如@ user12719所注意到的，优化形式为：

fitdistr(x, "t")

失败并显示错误。

在这种情况下，您应该通过提供起点和下限来开始寻找最佳参数，从而为优化器提供帮助：

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

请注意，df=3您对“最佳” df可能是最好的猜测。提供此附加信息后，您的错误将消失。

几个摘录可以帮助您更好地了解以下方面的内部机制fitdistr：

对于正态分布，对数正态分布，几何分布，指数分布和泊松分布，使用封闭形式的MLE（以及精确的标准误差），start不应提供。

...

对于以下命名分布，如果start省略或仅部分指定，则会计算出合理的起始值：“ cauchy”，“ gamma”，“ logistic”，“ negative binomal”（由mu和size参数化），“ t”和“ weibull” ”。请注意，如果拟合差，则这些起始值可能不够好：特别是除非拟合分布是长尾的，否则它们不能抵抗异常值。

$\nu$$t$回归模型：陷阱和推论”，Biometrika，86，1）。

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

如果您使用此代码，则会发现某些情况下存在明确定义的最大值，尤其是在样本量较大的情况下 $n$

让我们尝试一些模拟：

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

显示估计值非常不稳定（从直方图看，估计值的相当大一部分处于为优化而指定的上限200）。

以更大的样本量重复：

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

更好，但均值仍远高于2.5的真实值。

然后请记住，这是实际问题的简化版本，其中还必须估算位置和比例参数。

如果使用原因 $t$-分布是要“稳固”，然后估计 $\nu$ 数据中的数据很可能破坏鲁棒性。

在fitdistr的帮助中是以下示例：

fitdistr(x2, "t", df = 9)

表示您只需要df的值。但这假定了标准化。

为了获得更多控制权，他们还显示

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

其中参数为m =平均值，s =标准偏差，df =自由度