我得出的这种离散分布（递归差分方程）叫什么名字？

我在电脑游戏中遇到了这个发行版，并想进一步了解它的行为。这取决于在给定数量的玩家动作之后是否应该发生某个事件。除此之外的细节无关紧要。它似乎也适用于其他情况，我发现它很有趣，因为它很容易计算并产生一条长尾巴。

每一步 $n$ ，游戏产生均匀的随机数 $0 \leq X < 1$ 。如果 $X < p(n)$ ，则触发事件。事件一旦发生，游戏将重置 $n = 0$ 并再次运行该序列。我只对发生此问题的事件感兴趣，因为这代表了游戏使用的分布。（此外，有关多个事件的任何问题都可以通过一个事件模型来回答。）

这里的主要“异常”是此分布中的概率参数随时间增加，或者换句话说，阈值随时间增加。在示例中，它线性变化，但我想其他规则也可以适用。经过 $n$ 步或用户的操作后，

p (n) = k n

$p(n) = kn$

对于一些常数 $0 < k < 1$ 。在某个特定点 $n_{\max}$ ，我们得到 $p(n_{\max}) \geq 1$ 。仅保证在该步骤发生该事件。

我能够确定

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$ 和表示PMF和CDF。简而言之，事件在第步将发生的概率等于概率减去事件在任何先前步骤中已经发生的概率。

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$

f (n)

$f(n)$

F (n)

$F(n)$

n

$n$

p (n)

$p(n)$

这是我们的朋友蒙特卡洛（Monte Carlo）的情节，很有趣，。中位数为21，平均为22。 $k \approx 0.003$ 在此处输入图片说明

这大致相当于数字信号处理的一阶差分方程，这就是我的背景，因此我发现它相当新颖。我也对可以根据任意公式变化的想法感到好奇。 $p(n)$

我的问题：

如果有这个发行版，它叫什么名字？
有什么方法可以在不参考情况下得出的表达式吗？ $f(n)$ $F(n)$
还有像这样的离散递归分布的其他示例吗？

编辑有关随机数生成的澄清过程。

— 贾巴尔
source

您选择方括号而不是（）的原因是什么？

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon：我的DSP背景入迷了。我们倾向于将方括号用于离散时间函数。我想这一定很刺耳，所以我将其更改。

— jbarlow 2012年

您假设的过程在此处未明确定义。您说：“每一步，游戏都会掷出一个随机数如果，则会触发该事件。” 但是，您没有给出如何绘制的说明。如果可以更精确地描述该过程，我认为这将有所帮助。

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

— 主教

@jbarlow：对不起，如果我以前的话不清楚。如果对于，则您的过程将不可能超过步骤，因为零和一之间的统一随机数肯定会更小对于任何都比。数量的函数关系非常密切相关的所谓的风险函数被称为统计的子生存分析。

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$

— 主教

对于小，使用该差分方程的微分模拟表明（不是！）接近高斯。（例如，由此我们可以立即得出平均值必须接近）也请注意，对有一些（强）限制，否则，一旦超过（最终会做到），就无法保证保持小于或等于。

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

— whuber

Answers:

从某种意义上说，您所做的就是表征所有非负整数值分布。

让我们暂时搁置对随机过程的描述，然后集中讨论问题中的递归。

如果，则肯定。如果我们根据生存函数（其中具有分布）来重写第二个递归，我们将得到非常有启发性且易于处理的信息。显然，所以因此，只要我们的序列取值并且不会太快收敛到零，那么我们将获得有效的生存函数（即，随着单调减少到零）。 $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$

n \to \infty

$n \to \infty$

进一步来说，

命题：当且仅当采用值的序列确定非负整数的分布并且所有这些分布都有对应的顺序（尽管可能不是唯一的）。 $(p_n)$ $[0,1]$
$- \sum_{n = 0}^{\infty} \log (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

因此，问题中写的递归是完全通用的：任何非负整数值分布都具有一个对应的序列，其取值为。 $(p_n)$ $[0,1]$

但是，事实并非如此。也就是说，存在中的值不对应于任何有效分布的序列。（特别是，考虑对于所有和对于。） $(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

但是，等等，还有更多！

我们已经暗示了与生存分析的联系，值得对此进行更深入的探讨。在具有绝对连续分布和相应密度经典生存分析中， 危险函数定义为 $F$ $f$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

的累积风险是然后和衍生物显示了一个简单的分析该由此，我们可以立即给出可允许的危险函数的特征：它是任何可测量的函数，对于所有和，作为。 $\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) d s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

注意到对于我们获得了与上述函数相似的生存函数递归。 $t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

观察特别是，我们可以选择以与各片是宽度为1的和，使得所述积分收敛到无穷大分段常数。这将产生一个生存函数，该函数与在每个正整数处均值为1的任何所需离散非负整数匹配。 $h(t)$ $S(t)$

连接回分立箱

为了在每个整数处匹配期望的离散，我们应该选择分段常数的危险函数，使得在。这提供了该序列的必要条件的第二证据，以限定一个有效的分布。 $S(n)$

h (t) = h_{n} = - \log (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

请注意，对于小，在连续分布的危险函数和离散分布之间提供启发式联系，并具有匹配的生存函数。整数。 $p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

附言：作为最后的注释，问题中的示例如果不对进行适当修改并为所有设置，则不满足必要条件。 $p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— 红衣主教
source

+1非常有启发性。但是，关于后记，在我看来，对于特殊值，“适当的截断”是理所当然的事情。例如，在情况下，我们获得，更一般而言，在我们得到。

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

— ub

@whuber：我应该更清楚地说明“适当的截断”的含义。我当时正在考虑在指定点截断（缩小）的值（以便成为单位）。我认为该概念在您提到的情况下仍然有效，只是截断不会导致的值发生变化。我将尝试在不久的修改中对此进行澄清。谢谢！

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

— 主教

好答案。这是很有见地的。我真的很高兴看到这个问题与其他领域和概念有关。

— jbarlow 2012年

@jbarlow：谢谢。很高兴您发现它有用！我乐于对此进行思考，因为这是一个很好的问题。

— 主教

在的情况下，我们具有一些已知的属性。我们可以解决递归关系 $p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

有解决方案

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$ 是几何分布。这是经过充分研究的。

的更一般情况可能无法以封闭形式计算，因此可能没有已知的分布。 $p(n)$

其他情况：

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ 具有解，这不是众所周知的分布。 $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
定义（在统计数据中称为生存函数），上述递归关系简化为以下简单形式： $S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
从您的示例看来，您想要一个在中增加的函数。您的选择在分析上不是很好，因为处的中断。数学家和统计学家更喜欢平稳的事物。所以我建议，其中并收敛到1。用这个求解递归关系，具有很好的解析形式：考虑。已知的统计事实是 $p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ 如果您还记得一些微积分，则它看起来很像指数的泰勒级数，因此 $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— 戴维森·皮隆
source

凸轮，这不是危险功能，而是生存功能。:-)

— 主教

ty，*为了生存而编辑

— Cam.Davidson.Pilon 2012年