转换后的随机变量的协方差

我有两个随机变量 $X > 0$ 和 $Y > 0$ 。

鉴于我可以估计

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$ 我如何估计

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— 用户名
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过去的问题询问的是相关性而不是协方差，但它是相关的：stats.stackexchange.com/questions/35941/…–

— Douglas Zare

可以采用泰勒展开式的方法：

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

编辑：

取，。 $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

使用多元泰勒展开来计算的近似值（类似于链接中“ First Moment”末尾的示例，该示例处理情况更简单，并使用单变量展开来计算和近似值在同一部分的第一部分中给出），以达到类似的精度。根据这些内容，计算（近似）协方差。 $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

扩展到与链接中的示例相似的近似程度，我认为您最终得到了每个（未转换）变量的均值和方差以及它们的协方差的术语。

编辑2：

但是这里有一些技巧可以节省一些精力：

注意和和。 $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

编辑：最后一步是从泰勒逼近出发，这对小很好（采用）。 $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

（该近似值对于，法线是精确的：）） $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

令 $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

并给定，然后 $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

（编辑：）

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

因此。对于双变量高斯这应该是精确的。 $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

如果您使用第一个近似值而不是第二个近似值，则此处将获得不同的近似值。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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请您提供更多细节吗？无论如何，谢谢你的建议

— 2013年

编辑的详细信息。

— Glen_b-恢复莫妮卡

谢谢@Glend_b。我将接受何时添加细节。同时，+ 1 :-)

— user7064 2013年

别担心; 当时我很忙，然后完全忘了。现在已修复

— Glen_b-恢复莫妮卡

如果和的方差较小（等效地，如果和的变化系数较小），则通常对非高斯变量更好。

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b-恢复莫妮卡

如果没有关于和任何其他假设，就不可能在知道初始协方差的情况下得出对数的协方差。在另一方面，如果你能够计算的和，是什么阻止你计算从和直接？ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— 典当行
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