变形虫面试问题

在采访一家专有贸易公司的交易职位时，有人问我这个问题。我非常想知道这个问题的答案及其背后的直觉。

变形虫问题：变形虫的种群始于1。经过1个时期，变形虫可以等概率分为1、2、3或0（它可以死亡）。整个人群最终死亡的可能性是多少？

可爱的问题。这是概率学家脑子里为了娱乐而做的事情。

该技术是，假设有消光的这样的概率，称之为。然后，使用总概率定律，查看一棵深的决策树以了解可能的结果，即$P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

假设在2个或3个“后代”的情况下，它们的灭绝概率为IID。这个方程有两个可行的根和$1$。比我聪明的人也许可以解释为什么1不合理。$\sqrt{2}-1$$1$

工作必须紧缩-什么样的面试官希望您解决头脑中的三次方程式？

信封计算的某些背面（稍微地-我的桌子上放着一个信封）使我有42/111（38％）的概率从未达到3的人口。

我运行了一个快速的Python模拟程序，查看到20代时有多少人口丧生（这时通常要么死亡，要么成千上万），并且在10000次运行中死亡4164人。

因此答案是42％。

这听起来与高尔顿·沃森（Galton Watson）过程有关，该过程最初是为研究姓氏的生存而制定的。概率取决于单次分割后的拟变形量。在这种情况下所预期数是$3/2,$这是比临界值更大的，因此消光的概率小于1。$1$$1$

通过考虑除法后的变形虫的预期数量，可以很容易地表明，如果一个除法后的变形虫的预期数量小于$k$$1$，则灭绝的概率为。问题的另一半，我不太确定。$1$

就像迈克·安德森（Mike Anderson）的回答一样，您可以将变形虫的灭绝概率与孩子的灭绝概率之和等同。

$$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$$

然后，当将父母和子女的血统灭绝的概率设置为相等时，则得到以下等式：

$$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$$

根$p=1$，$p=\sqrt{2}-1$，和$p=-\sqrt{2}-1$。

剩下的问题是为什么答案应该是$p=\sqrt{2}-1$而不是$p=1$。例如，在这个重复的变形虫访谈中问这个问题：P（N = 0）是1还是1/2？。在shabbychef的答案中，有人解释说，可以看待第k次除法后人口规模的期望值$E_k$，然后看它是在缩小还是在增长。$k$

对我而言，其背后的论点存在某种间接性，似乎还没有被完全证明。

• 例如，在一个评论中，Whuber指出，您的期望值$E_k$可以增大，并且在第$k$步方法1中也具有灭绝的可能性。作为示例，您可以引入灾难性事件，该事件消灭整个变形虫在每个步骤中都以$x$概率出现。然后，变形虫几乎可以肯定会死掉。但是，步骤$k$中对人口规模的期望正在增长。
• Furthermore, the answer leaves open what we have to think of the situation when $E_k = 1$ (e.g. when an amoeba splits or does not split with equal, 50%, probability, then the lineage of an amoeba becomes extinct with probability almost $1$ eventhough $E_k= 1$)

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Alternative derivation.

Note that the solution $p=1$ can be a vacuous truth. We equate the probability for the parent's lineage to become extinct to the child's lineage to become extinct.

• $1$
  $1$'.

$1$'. This is especially clear when there would always be nonzero number of offspring. E.g. imagine the equation:

$$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$$

Could we arive to a solution in a slightly different way?

Let's call $p_k$ the probability for the lineage to get extinct before the $k$-th devision. Then we have:

$$p_1 = \frac{1}{4}$$

and the recurrence relation

$$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$$

or

$$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$$

So wherever $f(p_k)>1$ the probability to get extinct before the $k$-th devision will increase with increasing $k$.

Convergence to the root and the relation with the expectation value

If the step is smaller than the distance to the root $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ then this increase of the $p_k$ as $k$ grows will not surpass the point where $f(p_\infty) = 0$.

You could verify that this (not surpassing the root) is always the case when the slope/derivative of $f(p_k)$ is above or equal to $-1$, and this in it's turn is always the case for $0\leq p \leq 1$ and polynomials like $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ with $a_k \geq 0$.

With the derivative

$$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$$ being in the extreme points equal to $f^\prime(0) = -1$ and $f^\prime(1) = -1 + E_1$ you can see that there must be a minimum between $p=0$ and $p=1$ if $E_1>1$ (and related there must be a root between $0$ and $1$, thus no certain extinction). And opposite when $E_1 \leq 1$ there will be no root between $0$ and $1$, thus certain extinction (except the case when $f(p) = 0$ which occurs when $a_1 = 1$).