具有对数转换响应的线性模型与带对数链接的广义线性模型

在这篇题为“适用于医学数据的广义线性模型之间的选择”的论文中，作者写道：

在广义线性模型中，均值是通过链接函数转换的，而不是转换响应本身的。两种转换方法可能导致完全不同的结果。例如， 对数转换后的响应的平均值与均值响应的对数不同。通常，前者不能轻易转化为平均反应。因此，转换均值通常可以更容易地解释结果，特别是在均值参数与测量响应保持相同范围的情况下。

他们似乎建议使用带有对数链接的广义线性模型（GLM）代替具有对数转换响应的线性模型（LM）。我不了解这种方法的优势，对我来说似乎很不寻常。

我的响应变量看起来呈对数正态分布。无论采用哪种方法，在系数及其标准误差方面，我都得到类似的结果。

不过我在想：如果一个变量具有对数正态分布，不是平均的对数变换变量最好在日志的平均未转换的变量，作为均值是正态分布的自然总结和日志-transformed变量是正态分布的，而变量本身不是吗？

尽管看起来对数转换后的变量的均值似乎是更可取的（因为这通常是对数正态参数化的方式），但从实践的角度来看，均值的对数通常更有用。

当您的模型不完全正确时尤其如此，并引用George Box的话：“所有模型都是错误的，有些是有用的”

假设有一定数量的对数正态分布，血压说（我不是医务人员！），我们有两个人口，男人和女人。有人可能会假设女性的平均血压高于男性。 这恰好对应于询问女性平均血压的对数是否高于男性。询问男人的女性平均血压平均值是否更高是不同的。

$\mu_{\ln}$

$\mu = e^{\mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2/2}$

$\sigma^2 = (e^{\sigma^2_{\ln}} -1)e^{2 \mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2}$

显然，这样做会使代数极其复杂，但它仍然有效并且含义相同。

$\ln(\mu)$$\sigma^2_{\ln}$$\mu_{\ln}$

$\mu_{\ln}$

到目前为止，我们已经假定血压实际上是对数正态的。如果真实分布不完全符合对数正态分布，那么转换数据（通常）会使情况比上述情况更糟-因为我们不太了解“平均”参数的实际含义。也就是说，我们不会知道上面给出的均值和方差这两个方程是正确的。使用那些来回变换将引入其他错误。

这是我学习生物统计学时所学的高级数据分析课程中的两分钱（尽管除了教授的笔记以外，我没有其他参考资料）：

归结为您是否需要处理数据中的线性和异方差（方差不相等），或者只是线性。

她指出，转换数据会影响模型的线性和方差假设。例如，如果您的残差同时出现问题，则可以考虑转换数据，这有可能同时解决这两个问题。该变换变换误差并因此变换其方差。

相反，使用链接函数只会影响线性假设，而不会影响方差。对数取平均值（期望值），因此残差的方差不受影响。

总而言之，如果您没有关于非恒定方差的问题，她建议在转换中使用链接函数，因为您不想在这种情况下更改方差（您已经满足了假设）。

如果真实的响应不是对称的（不是按正态分布），但对数变换响应是正态的，则可以使用对变换响应的线性回归，指数系数给出了几何平均值的比率。

如果真实的响应是对称的（按正态分布），但解释性（X）与响应之间的关系不是线性的，而对数期望值是X的线性函数，则使用具有对数链接的GLM，指数系数给出算术平均值的比率