贝叶斯击球平均先验

我想问一个问题，这个问题的灵感来自关于Beta发行版直觉的出色答案。我想更好地了解击球平均值的先验分布的推导。看起来David正在从均值和范围中退出参数。

在平均值为并且标准偏差为的假设下，您可以通过求解以下两个方程式来退回和： $0.27$$0.18$$\alpha$$\beta$

$$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$$

注意：

$$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$$

因此，这意味着方差可以用均值表示为

$$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$$

如果您希望平均值为，标准偏差为（方差），则只需计算：$.27$$.18$$.0324$

$$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$$

现在您知道了总数，$\alpha$和$\beta$很简单：

$$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$$

您可以在R中检查此答案：

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

我想将其添加为对出色答案的评论，但是它运行了很长时间，并且使用答案格式看起来会更好。

事情要记住的是，并不是所有的是可能的。很明显μ ＆Element; [ 0 ，1 ]，但不作为明确是用于限制σ 2。$(\mu, \sigma^2)$$\mu \in [0,1]$$\sigma^2$

使用与大卫相同的推理，我们可以表达

$$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$$

$\alpha$$\sigma^2$$\mu$

$$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$$

$\alpha$$\alpha > 0$$\mu = \frac12$

$\mu$$\alpha$$\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

总而言之，这是Beta的有效均值和方差集：

（实际上，在Beta版的Wikipedia页面上对此进行了注明）