分布变量的已知最清晰的尾边界是什么？

令是具有自由度的卡方分布随机变量。以下概率的最明确的已知界限是什么 $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

和

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

其中和是一些函数。指向相关论文的指针将不胜感激。 $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared

— 麦考拉尔
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如果将增量定义为互补的不完全伽马函数，则会获得精确的等式。显然，这是最尖锐的界限！我想这个问题的重点是您的计算器不会计算不完整的伽玛，而是在寻找一个近似值，但是它仍然忽略了基本信息：在知道您的计算器可以计算什么之前，我们如何回答这个问题？

— Whuber

我对计算上限不感兴趣，但是获得了我可以分析控制的东西。罗宾提供的答案正是我所寻找的。问题是，是否存在比Massart和Laurent提供的界限更精确的界限？

— mkolar

伽玛积分可以“解析地控制”，那么您在区分什么？

— Whuber

我知道的最锐利的界线是Massart和Laurent Lemma 1 p1325的界线。

他们的必然结果是：

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

— 罗宾吉拉德
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第二个不平等似乎是不正确的，还是我错过了一些东西？

— mkolar

@mkolar对此感到抱歉，现已更正

— 罗宾吉拉德