“极限”分布和“固定”分布有什么区别？

我在问关于马尔可夫链的问题，最后两部分是这样说的：

这个马尔可夫链是否具有极限分布。如果您的回答是“是”，请找到极限分布。如果您的回答为“否”，请说明原因。

这个马尔可夫链是否具有平稳分布。如果您的回答是“是”，请找到平稳分布。如果您的回答为“否”，请说明原因。

有什么区别？早些时候，我认为限制分布是在使用求解时得出的，但这是第步转换矩阵。他们使用计算极限分布，我认为这是平稳分布。 $P = CA^n C^{-1}$ $n$ $\Pi = \Pi P$

那是哪一个呢？

markov-process

— 凯什
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您的教科书可能会做出一个不通用的区分：例如，卡尔·西格姆（Karl Sigman）关于限制分布的注释将“限制”和“固定”分布定义为同义词（第5页底部的定义2.3）。因此，您必须查阅教科书中的定义才能确定差异。

— Whuber

@whuber这是在说类似

lim_{n \to \infty} P_{i i}^{(n)}

$\lim_{n \rightarrow \infty} P_{ii}^{(n)}$ ，但这并不存在。然后它继续说：“即使不存在极限分布，平稳点也存在。令

Π = (π_{0}, π_{1}, . . ., π_{n})

$\Pi = (\pi_0, \pi_1, ... ,\pi_n)$ 是平稳分布。...”确保您在问题之前计算极限分布，他们就是这样解决的。这对您有意义吗？

— Kaish 2013年

@whuber实际上，我现在很困惑，因为在前面的极限分布问题中，它们不满足

π_{0} + π_{1} + π_{2} = 1

$\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$ 相等性，所以也许是不同的吗？

— Kaish 2013年

固定分布是随时间稳定的分布。据我所知，马尔可夫链的极限分布是平稳的，如果马尔可夫链具有平稳分布，那么它也是极限分布。

— shadowtalker 2014年

答案在这里由Andreas可能有助于quora.com/...

— 亚洲时报Siddharth释迦

Answers:

从《 Pinsky和Karlin的随机建模入门》（2011年）：

极限分布（如果存在）始终是平稳分布，但反之则不成立。可能存在平稳分布，但没有限制分布。例如，对于过渡概率矩阵为的周期Markov链没有限制分布。但是固定分布，因为（第205页）。
$P = ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖$ $\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$ $\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖ = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

在现有部分中，他们已经定义的“ 限制概率分布 ”由 $\pi$

$lim_{n \to \infty} P_{i j}^{(n)} = π_{j} f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$

等价地

$lim_{n \to \infty} \Pr {X_{n} = j | X_{0} = i} = π_{j} > 0 f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$ （p。 165）。

上面的示例确定性地振荡，因此没有限制，就像序列没有限制一样。 $\{1,0,1,0,1,\dots\}$

他们指出，规则马尔可夫链（其中所有n阶跃迁概率均为正）始终具有极限分布，并证明它必须是唯一的非负解

$π_{j} = \sum_{k = 0}^{N} π_{k} P_{k j}, j = 0, 1, \dots, N, \sum_{k = 0}^{N} π_{k} = 1$ $\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$ （第168页））

然后在与示例相同的页面上，他们写道

满足（4.27）的任何集合被称为马尔可夫链的平稳概率分布。术语“固定的”源自于根据固定分布开始的马尔可夫链将在所有时间点遵循该分布的性质。形式上，如果，则对于所有。 $(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$ $\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$ $\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$ $n=1,2,\dots$

其中（4.27）是方程组

$π_{i} \geq 0, \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} = 1, a n d π_{j} = \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} P_{i j} .$ $\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$

除了现在具有无限数量的状态之外，这与上述平稳条件完全相同。

使用平稳性的定义，可以将第168页上的语句追溯重述为：

正则马尔可夫链的极限分布是平稳分布。
如果马尔可夫链的极限分布是平稳分布，则该平稳分布是唯一的。

— 暗语者
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您能否阐明平稳性的“转换概率不会随时间变化”是什么意思？极限分布和平稳分布都与状态概率有关。

— Juho Kokkala 2014年

是的，我看到你写了你自己的答案，但我改组了我的答案，以使其更正确。

— shadowtalker 2014年

我还是不明白。我的意思是当您说“除了现在有无限多个州...以外”时，您是什么意思？您能更清楚地澄清一下吗？

— roni

@roni如果您让则两个表达式是相同的

N = \infty

$N=\infty$

— shadowtalker

在第一个突出显示的块中，是示例的固定分布，但是，由于会振荡，因此它没有限制分布，因此它没有稳态。这是否意味着仅计算平稳分布就不能保证稳态的存在？

π = (1 / 2, 1 / 2)

$\pi=(1/2,1/2)$

P^{n}

$P^{n}$

— 秦国阳

静态分布是这样的分布：如果在步骤状态分布是，那么在步骤状态分布也是。也就是说，甲限制分布是这样的分布，无论什么初始分布是，分布在状态收敛于作为数步骤达到无穷大：独立于 $\pi$ $k$ $\pi$ $k+1$ $\pi$

π = π P .

$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$

π

$\pi$

π

$\pi$

lim_{k \to \infty} π^{(0)} P^{k} = π,

$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$

π^{(0)}

$\pi^{(0)}$ 。例如，让我们考虑一个马尔可夫链，其两个状态是硬币的侧面。每个步骤都包括将硬币倒置（概率为1）。注意，当我们计算状态分布时，它们并不以前面的步骤为条件，即，计算概率的人看不到硬币。因此，过渡矩阵为如果我们首先通过随机翻转硬币来初始化硬币（），那么所有随后的时间步长也会遵循此分布。（如果您抛开一个公平的硬币，然后将其倒置，则正面出现的可能性仍然是）。从而，

{h e a d s, t a i l s}

$\{heads, tails\}$

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$

π^{(0)} = (\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$ 是此马尔可夫链的平稳分布。

但是，此链条没有限制分布：假设我们初始化硬币，使其正面为概率为。然后，由于所有后续状态均由初始状态确定，因此，在偶数步数之后，状态为概率为头部，而在奇数步数之后，状态为概率为头部。无论采取多少步骤，这都成立，因此状态的分布没有限制。 $2/3$ $2/3$ $1/3$

现在，让我们修改该过程，以便在每一步中都不必转动硬币。相反，投掷骰子，如果结果为，则硬币保持原样。该马尔可夫链具有转移矩阵不进行数学计算的情况下，我将指出由于随机省略转弯，此过程将“忘记”初始状态。经过大量步骤后，即使我们知道硬币是如何初始化的，正面的概率也将接近。因此，该链具有极限分布。 $6$

P = (\begin{matrix} 1 / 6 & 5 / 6 \\ 5 / 6 & 1 / 6 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

— Juho Kokkala
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关于忘记初始状态的好处是，我在回答中完全忽略了这一点。

— shadowtalker

这个解释对我很有帮助。我可以说稳态的存在等于极限分布的存在吗？由于计算极限分布并不容易，因此我们经常通过求解平衡方程来计算平稳分布。但是，我认为这种替代方法不能保证平稳分布独立于初始状态，因此，它解释了为什么对于，它具有平稳分布，但是没有独立于初始状态的稳定状态。

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$P = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

— 秦国阳

@GuoyangQin如果您有新问题，不妨将其发布为问题（如果有帮助，请链接到此问题）。尽管我

— 原本

撇开符号不谈，“固定”一词的意思是“一旦到达那里，您就会呆在那里”。而“限制”一词则表示“如果走得足够远，您最终将到达那里”。只是认为这可能会有所帮助。

— 蓝天
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目前尚不清楚这如何应用于问题。你能解释一下吗？

— ub

嗨，whuber，我的意思是说极限分布必然是平稳分布，而平稳分布不一定是极限分布。因此存在差异。这基本上与其他答案相同，但我认为它更容易记住。

— BlueSky '16

感谢您的澄清：它向我们展示了您要完成的工作。但是，我找不到任何合理的方式来以符合数学定义的方式来解释您对“平稳”的描述。

— ub

@whuber BlueSky的措词对我来说似乎是一个非常简单明了的英语“定点”概念-我不确定您的对象可能意味着什么。

— 理查德·拉斯特