异方差性与非平稳性的概念区别

我很难区分平稳性和平稳性的概念。据我了解，异方差是亚群中不同的变异性，而非平稳性是随时间变化的均值/变异性。

如果这是正确的（尽管很简单）的理解，那么非平稳性是否只是跨时间异方差性的特定情况？

为了给出精确的定义，让 $X_1, \ldots, X_n$ 是实值随机变量。

通常仅在我们将变量的索引视为时间时才定义平稳性。在这种情况下，随机变量的序列为$X_1, \ldots, X_{n-1}$ 具有与以下相同的分布 $X_2, \ldots, X_n$。这尤其意味着$X_i$ 对于 $i = 1, \ldots, n$ 它们都具有相同的边际分布，因此具有相同的边际均值和方差（假设它们具有有限的第二矩）。

异方差性的含义可以取决于上下文。如果边际方差$X_i$的变化 $i$（即使均值是恒定的）随机变量在不是均等的意义上也称为异方差。

在回归分析中，我们通常考虑回归变量的条件方差，并将异方差定义为非恒定条件方差。

在时间序列分析中，术语“ 条件异方差性”很常见，因此兴趣通常在于$X_k$ 有条件地 $X_{k-1}, \ldots, X_1$。如果此条件方差不是恒定的，则我们具有条件异方差。ARCH（自回归条件异方差）模型是具有非恒定条件方差的平稳时间序列模型的最著名示例。

异方差性（尤其是条件异方差性）通常并不意味着非平稳性。

出于多种原因，平稳性很重要。一个简单的统计结果就是平均值

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i)$$ 然后是期望的无偏估计量 $E f(X_1)$（并假设遍历性比平稳性稍大一些，并且通常隐含地假设，则平均值是对期望值的一致估计$n \to \infty$）。

从统计的角度来看，异方差性（或同质性）的重要性与统计不确定性的评估有关，例如置信区间的计算。如果计算是在假设均方差的情况下进行的，而数据实际上显示出异方差，则结果置信区间可能会产生误导。

如果时间序列的所有统计属性都不取决于时间原点，则该时间序列是固定的。如果不满足此要求，则时间序列不是固定的。

甚至一个固定的时间序列也无法仅基于一个样本记录来描述。必须通过对不同时间来源的样本记录集合进行平均来分析其统计属性。

如果统计特性对于任何单个样本记录都是相同的，并且对于通过集合平均确定的统计特性而言，则时间序列是遍历的。

由于异规矩时间序列的统计特性与时间有关，因此它不是平稳的，当然也不是遍历遍历的。为单个样本记录确定的属性不能扩展到其过去和将来的行为。

顺便说一下，相关/回归分析不能应用于时间序列，因为它们之间的相关性（相干函数）是频率相关的，并且可以通过（多元）随机差分方程式（时域）或频率响应函数来表征。 （频域）。

将针对随机变量开发的回归分析扩展到时间序列是错误的（例如，参见Bendat和Piersol，2010； Box等，2015）。

有3度固定。弱形式要求均值，方差保持恒定。这意味着3个固定定义比异方差性更强的要求，因为异方差性是指恒定的方差，而不涉及均值。

一个过程可以具有异方差性。但是，如果其平均值不是恒定的，则该过程不是（弱）固定的。

平稳的过程（用“ S”表示）意味着同调（用“ H”表示）。所以S-> H.

当然，它的对立面 也是正确的。因此，H'-> S'，即非均匀性意味着非平稳。

但是倒置和否定是不正确的。换一种说法：

“非平稳意味着非同构性”是不正确的。

“存在不平稳的平稳过程”是不正确的。