Gamma随机变量的差异

给定两个独立的随机变量和，差的分布是多少，即？ $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

如果结果不为人所知，我将如何得出结果？

distributions gamma-distribution

— 联邦广播公司
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我认为可能是相关的：stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

不幸的是，这无关紧要，该职位考虑了权重严格为正的Gamma随机变量的加权和。在我的情况下，权重分别为+1和-1。

— FBC

Moschopoulos论文声称该方法可以扩展为线性组合，但是您正确地认为，重新缩放似乎仅限于权重大于0。

— Dimitriy V. Masterov

除非两个比例因子相同，否则几乎不可能获得任何简单形式或封闭形式的东西。

— whuber

仅需说明一下：对于具有相同参数的指数分布rvs的特殊情况，结果为Laplace（en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution）。

— 2013年

我将概述如何解决该问题，并说明在形状参数为整数但没有填写详细信息的情况下，特殊情况下最终结果。

首先，注意呈现值等已经支持。 $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
其次，从标准的结果的两个独立的连续随机变量之和的密度是它们的密度的卷积，即，和随机变量的密度是，推导出
$F_{X + ÿ} （ ž ） = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} （ X ） F_{ÿ} （ ž - X ） d X$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $F_{X - ÿ} （ ž ） = F_{X + （ - ÿ ）} （ ž ） = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} （ X ） F_{- ÿ} （ ž - X ） d X = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} （ X ） F_{ÿ} （ X - ž ） d X 。$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
第三，对于非负随机变量和，注意的是，上述表达式简化为 $X$ $Y$
$F_{X - ÿ} （ ž ） = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} F_{X} （ X ） F_{ÿ} （ X - ž ） d X ， & ž < 0 ， \\ \int_{0}^{\infty} F_{X} （ ÿ + ž ） F_{ÿ} （ ÿ ） d ÿ ， & ž > 0。 \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
最后，使用参数化来表示与密度的随机变量 $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} F_{X - ÿ} （ ž ） & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{（ λ X ）^{s - 1个}}{Γ （ s ）} 经验值（ - λ X ） μ \frac{（ μ （ X - ž ））^{Ť - 1个}}{Γ （ Ť ）} 经验值（ - μ （ X - ž ）） d X \\ （2） & = 经验值（ μ ž ） \int_{0}^{\infty} q （ X ， ž ）经验值（ - （ λ + μ ） X ） d X 。 \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} X^{s - 1个} （ X + β ）^{s - 1个} 经验值 （ - ν X ） d X

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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+1：之前看过这个问题，我发现这个答案很有趣。

— Neil G

即使似乎没有封闭式解决方案，我也将接受此答案。快到了，谢谢！

— FBC 2014年

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

据我所知，Mathai于1993年首次研究了两个独立的γrv的差的分布。他得出了一个封闭形式的解。我不会在这里复制他的作品。相反，我将把您指向原始来源。封闭形式的解可以在他的论文《正态变量中二次形式的非中心广义拉普拉斯性》中作为定理2.1找到。

— 内森·克罗克（Nathan Crock）
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