对数转换线性回归，对数回归与对数混合模型之间有什么区别？

假设我有10个学生，每个学生都尝试解决20个数学问题。对问题的评分为正确或不正确（在longdata中），每个学生的表现都可以通过准确性度量（在subjdata中）进行总结。下面的模型1、2和4看起来会产生不同的结果，但是我知道它们在做相同的事情。他们为什么产生不同的结果？（我提供了模型3作为参考。）

library(lme4)

set.seed(1)
nsubjs=10
nprobs=20
subjdata = data.frame('subj'=rep(1:nsubjs),'iq'=rep(seq(80,120,10),nsubjs/5))
longdata = subjdata[rep(seq_len(nrow(subjdata)), each=nprobs), ]
longdata$correct = runif(nsubjs*nprobs)<pnorm(longdata$iq/50-1.4)
subjdata$acc = by(longdata$correct,longdata$subj,mean)
model1 = lm(logit(acc)~iq,subjdata)
model2 = glm(acc~iq,subjdata,family=gaussian(link='logit'))
model3 = glm(acc~iq,subjdata,family=binomial(link='logit'))
model4 = lmer(correct~iq+(1|subj),longdata,family=binomial(link='logit'))

模型1和2不同，因为第一个变换响应，第二个变换其期望值。

对于模型1，每个响应的logit为正态分布 及其平均值是预测因子和系数向量的线性函数。 ，因此 对于模型2，响应本身通常是分布的 ，其均值的对数是预测变量和系数向量的线性函数 ，因此

$$\newcommand{\logit}{\operatorname{logit}}\logit Y_i\sim\mathrm{N}\left(\mu_i,\sigma^2\right)$$ $$\mu_i=x_i'\beta$$ $$Y_i=\logit^{-1}\left(x_i'\beta+\varepsilon_i\right)$$ $$\newcommand{\logit}{\operatorname{logit}} Y_i\sim\mathrm{N}\left(\mu_i,\sigma^2\right)$$ $$\logit\mu_i=x_i\beta$$ $$Y_i=\logit^{-1}\left(x_i'\beta\right)+\varepsilon_i$$

因此方差结构将有所不同。想象一下从模型2模拟：方差将独立于期望值；＆尽管响应的期望值将在0和1之间，但响应并非全部如此。

像模型4这样的广义线性混合模型又有所不同，因为它们包含随机效应：请参见此处和此处。

向@Scortchi +1，后者提供了非常清晰简洁的答案。我想提出几点补充意见。首先，对于第二个模型，您指定响应分布为高斯分布（aka，正态）。这必须是错误的，因为每个答案的评分都正确或不正确。也就是说，每个答案都是伯努利审判。因此，您的响应分布是二项式。这个想法也正确地反映在您的代码中。接下来，控制响应分布的概率是正态分布的，因此链接应该是概率，而不是logit。最后，如果这是真实情况，则您需要考虑主题和问题的随机影响，因为它们极不可能完全相同。您生成这些数据的方式，每个人唯一相关的方面就是他们的智商，您已经明确说明了。因此，模型中的随机效应无需解决任何剩余问题。对于问题也是如此，因为问题难度的随机变化不是代码中数据生成过程的一部分。

我不是故意在这里挑剔。我知道您的设置只是为了方便您的问题而设计的，它已经达到了目的。@Scortchi可以非常轻松地直接解决您的问题。但是，我指出这些是因为它们提供了更多的机会来理解您所处的困境，并且因为您可能没有意识到代码与故事情节的某些部分匹配，而其他部分则没有。