指数随机变量的条件期望


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为一个随机变量é [ X ] = 1XExp(λ))我凭直觉感到E[X| X>x]应该等于x+E[X],因为通过无记忆属性,X|x的分布 X>xX相同,但向右移动xE[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

但是,我正在努力使用无记忆属性来提供具体的证明。任何帮助深表感谢。

谢谢。


提示:是“通过右移对应于数学表达式一个 ”,等等ë [ X | X > 一个] = ∫ - X ˚F X | X > 一个x fX|X>a(x)=fX(xa)a现在,在右侧的积分上更改变量。
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate

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注意 是一个截断的分布,在“ x ” 下被截断。特别地,它是移位的指数分布,并且移位的指数不具有无记忆性X|X>xx

Answers:


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X|X>xXx

fX(t)XX{X>x}Xx fXX>x(t)=fX(tx)E[XX>x]X{X>x}

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
X1


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x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.

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xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?
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