13 为一个随机变量(é [ X ] = 1X∼Exp(λ)X∼Exp(λ))我凭直觉感到E[X| X>x]应该等于x+E[X],因为通过无记忆属性,X|x的分布 X>x与X相同,但向右移动x。E[X]=1λE[X]=1λE[X|X>x]E[X|X>x]x+E[X]x+E[X]X|X>xX|X>xXXxx 但是,我正在努力使用无记忆属性来提供具体的证明。任何帮助深表感谢。 谢谢。 random-variable exponential conditional-expectation — 麦琴 source 提示:是“通过右移对应于数学表达式一个 ”,等等ë [ X | X > 一个] = ∫ ∞ - ∞ X ˚F X | X > 一个(x )fX|X>a(x)=fX(x−a)fX|X>a(x)=fX(x−a)aa现在,在右侧的积分上更改变量。E[X∣X>a]=∫∞−∞xfX∣X>a(x)dx=∫∞−∞xfX(x−a)dx.E[X∣X>a]=∫−∞∞xfX∣X>a(x)dx=∫−∞∞xfX(x−a)dx. — Dilip Sarwate 2 注意 是一个截断的分布,在“ x ” 下被截断。特别地,它是移位的指数分布,并且移位的指数不具有无记忆性。X|X>xX|X>xxx — 年
13 ……X|X>xX|X>xXXxx fX(t)fX(t)XX−−XX{X>x}{X>x}XXxx −−fX∣X>x(t)=fX(t−x)fX∣X>x(t)=fX(t−x)E[X∣X>x]E[X∣X>x]XX{X>x}{X>x}E[X∣X>x]=∫∞−∞tfX∣X>x(t)dt=∫∞−∞tfX(t−x)dt=∫∞−∞(x+u)fX(u)du=x+E[X].on substituting u=t−xE[X∣X>x]=∫−∞∞tfX∣X>x(t)dt=∫−∞∞tfX(t−x)dt=∫−∞∞(x+u)fX(u)duon substituting u=t−x=x+E[X].XX11 — 迪利普·萨瓦特(Dilip Sarwate) source
9 x>0x>0{X>x}{X>x}P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0E[X∣X>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},E[X∣X>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},E[XI{X>x}]=∫∞xtλe−λtdt=(∗)E[XI{X>x}]=∫x∞tλe−λtdt=(∗)(∗)=−λ∫∞xddλ(e−λt)dt=−λddλ∫∞xe−λtdt(∗)=−λ∫x∞ddλ(e−λt)dt=−λddλ∫x∞e−λtdt =−λddλ(1λ∫∞xλe−λtdt)=−λddλ(1λ(1−FX(x)))=−λddλ(1λ∫x∞λe−λtdt)=−λddλ(1λ(1−FX(x))) =−λddλ(e−λxλ)=(1λ+x)e−λx,=−λddλ(e−λxλ)=(1λ+x)e−λx,E[X∣X>x]=1λ+x=E[X]+x.E[X∣X>x]=1λ+x=E[X]+x. — 禅 source 2 ∫∞xtλe−λtdt=−te−λt∣∣∣∞x+∫∞xe−λtdt=(x+1λ)e−λx?∫x∞tλe−λtdt=−te−λt|x∞+∫x∞e−λtdt=(x+1λ)e−λx?