韦尔奇测验的自由度是否总是小于合并测验的DF？

我正在教授基础统计课程，我们正在对两个具有不等方差的独立样本进行t检验（韦尔奇检验）。在我看到的示例中，Welch检验使用的调整后的自由度始终小于或等于。 $n_1+n_2-2$

总是这样吗？韦尔奇检验是否总是降低（或保持不变）合并t检验（等方差）的自由度？

并且在同一主题上，如果样本标准偏差相等，那么Welch检验的DF是否减少为？我看了一下公式，但是代数变得凌乱。$n_1+n_2-2$

是。

Welch测试对自由度使用Satterthaite-Welch调整： 正如您所看到的那样，它相当丑陋（实际上是从数字上近似的），但是必须。参考文献：Howell（2002，）指出，“在一个极端处受到和中较小者的，在另一极端处受到 ”。

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

以下是“官方”参考（请注意，以上调整（通常使用的调整）是在第二篇论文中得出的）：

• 韦尔奇（BL）（1938）。“当总体方差不相等时，两种均值之差的重要性”。 Biometrika， 29，3 /4，第350-62页。
• 宾夕法尼亚州萨特斯韦特（1946）。“方差成分估计的近似分布”。 生物识别通讯，第2卷，第6页，第110-114页。
• 韦尔奇，BL（1947）。“当涉及几个不同的总体方差时，“学生”问题的推广”。 Biometrika， 34，1 / 2，第28-35页。

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