如何找到多维点之间的方差？

假设我有一个矩阵X，它的n乘p，即它有n个观测值，每个观测值都在p维空间中。

如何找到这n个观测值的方差？

在p = 1的情况下，我只需要使用正则方差公式。如果p> 1。

$p$$X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

$$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$$

即，将随机向量的方差定义为矩阵，该矩阵存储主对角线上的所有方差以及其他元素中不同分量之间的协方差。然后通过为总体变量插入样本类似物来计算样本协方差矩阵：$p \times p$

$$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$$ 其中表示特征第个观测值，表示的样本均值${X_{ij}}$$i$$j$${{\bar X}_{ \cdot j}}$$j$功能。综上所述，随机向量的方差定义为包含各个方差和协方差的矩阵。因此，足以单独计算所有矢量分量的样本方差和协方差。