您如何计算

如果是指数分布具有参数和的是相互独立的，什么是期望 $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

根据和以及其他常数？ $n$ $\lambda$

注意：这个问题已经在/math//q/12068/4051上获得了数学答案。读者也可以看看。

expected-value exponential gamma-distribution

— 以撒
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该问题的两个副本相互引用，并且适当地，统计站点（此处）具有统计答案，而数学站点具有数学答案。似乎是一个很好的部门：让它站起来！

— ub

Answers:

如果，然后（在独立），，所以是伽马分布（见维基百科）。因此，我们只需要。由于 $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ ，我们知道。因此，（参见维基百科对伽马分布的均值和方差）。 $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— 沃尔夫冈
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谢谢。几分钟前，在math.stackexchange（问题上方的链接）上还提供了一种非常整齐的回答问题的方法（导致相同的答案）。

— 沃尔夫冈

数学答案使用期望线性来计算积分。在某些方面，它更简单。但是，我喜欢您的解决方案，因为它利用了统计知识：因为您知道独立的指数变量的总和具有Gamma分布，所以您就可以了。

— ub

我很喜欢它，但我绝对不是统计学家或数学家。

— Kortuk

非常优雅的答案。

— 赛勒斯S

@Dilip数学家倾向于将这个问题视为要积分，并直接进行积分。统计学家根据熟悉的统计量（如方差）和熟悉的统计关系（如指数为Gamma且Gamma族在卷积下闭合）重新表达它。答案是相同的，但是方法是完全不同的。还有一个问题是“进行整合”的真正含义是什么。例如，这个复杂的积分纯粹是通过代数完成的。

— ub

上面的答案非常好，可以完全回答问题，但是我将提供一个总和的期望平方的通用公式，并将其应用于此处提到的特定示例。

$a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

$(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

$X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

只要这些期望存在。

$X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

$n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

$n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

是你的答案。

— 巨集
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这个问题只是“矩矩”这个更普遍的问题的特例，“矩矩”通常用幂和符号来定义。特别是在幂和符号中：

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

$E[s_1^2]$

['___ToRaw表示我们希望以人口的原始时刻（而不是中心时刻或累积量）表示解决方案。]

$X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

$\mu_i$ sol

全部完成。

$\lambda^2$

— 狼人
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